solido de revolucion

Sólido de revolución

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.
Contenido
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generadospor revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.
Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dadopor la siguiente fórmula genérica:

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficascualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

===TEOREMAS DEPAPPUS-GULDINUS=== 'Existen dos teoremas ampliamente utilizados por los ingenieros de todo el mundo que permiten calcular el volumen y el area de un solido de revolucion si se conoce el centroide del mismo. Estos teoremas son conocidos como teoremas del centroide de Pappus-Guldinus. '
VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región planaalrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Calculo de volúmenes
Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen deldisco = wR2π
Para ver

Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = wR2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

 
   
  Definición
  Sea unafunción definida en el intervalo .
Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de , el eje y las gráficas de y . El eje es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje es un círculo.
 
 

 
Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar alutilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (oaltura).
 

Consideremos una partición del intervalo determinada por el conjunto de números


donde , con .
Sea un aumento de .
Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son , y cuyas bases tienen radios .
 

El volumen del ésimo disco es:

 
La suma


de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.
Podemos suponer...