solución examen matemáticas universidad

SOLUCION DEL EXAMEN DE MATEMATICAS I DEL
14-01 2013
MODELO B
2 0
1) (a) Calcula 𝐵 · 𝐴
2 1 y 𝐵= 1 2 3 .
2 1
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
(b) Resuelve el sistema de ecuaciones
−2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
(a) Calculamos el determinante de la matriz A:
1 2 0
𝐴 = 0 2 1 =+ 2+2+0 − 0+2+0 =2+2−2=2≠0
1 2 1
Al ser el determinante de 𝐴 ≠ 0 la matriz A tiene inversa. Calculamos la matriz
adjunta:
−1𝐴11 = (−1)1+1

2
2

1
siendo 𝐴 = 0
1

1
=2−2=0
1

2 0
= − 2 − 0 = −2
2 1
2 0
= (−1)3+1
= 2 − 0 = 2 𝐴32
2 1

𝐴21 = (−1)2+1
𝐴31

1
1
1
𝐴22 = (−1)2+2
1
1 0
= (−1)3+2
0 1

𝐴12 = (−1)1+2

0
1

=− 0−1 =1

𝐴13 = (−1)1+3

0
=1−0=1
1

𝐴23 = (−1)2+3

= − 1 − 0 = −1

0
1
1
1

𝐴33 = (−1)3+3

2
= 0 − 2 = −2
2
2
=− 2−2 =0
2
1 2
=2−0=2
0 2

01 2
0 −2 2
𝑎𝑑𝑗𝐴 = −2 1 0 ; 𝑎𝑑𝑗𝐴) 𝑡 = 1
1 −1
2 −1 2
−2 0
2
0
−1
1
(𝑎𝑑𝑗𝐴) 𝑡 1 0 −2 2
𝐴−1 =
=
= 1 2 1 2 −1 2
1
1 −1
𝐴
2
−2 0
2
−1
0
1
Comprobación de que 𝐴−1 es la inversa de A:
1 2 0
0
−1
1
−1
𝐴 · 𝐴 = 0 2 1 1 2 1 2 −1 2 =
1 2 1
−1
0
1
1
1
1 · 0 + 2 2 + 0(−1) 1 −1 + 2 2 + 0 · 0 1 · 1 + 2 −1 2 + 0 · 1
= 0 · 0 + 2 1 2 + 1(−1) 0 −1 + 2 1 2 + 1 · 0 0 · 1 + 2 −1 2 + 1· 1 =
1 · 0 + 2 1 2 + 1(−1) 1 −1 + 2 1 2 + 1 · 0 1 · 1 + 2 −1 2 + 1 · 1
0 + 1 + 0 −1 + 1 + 0 1 − 1 + 0
1 0 0
= 0+1−1 0+1+0 0−1+1 = 0 1 0
0 + 1 − 1 −1 + 1 + 0 1 − 1 + 1
0 0 1
−1
Tenemos 𝐵 1×3 · 𝐴 3×3 por lo que el producto se puede efectuar: 1 × 3 × 3 × 3 =
= 1 × 3 . El resultado es un a matriz (1X3).
0
−1
1
1
1
𝐵· 𝐴 = 1 2 3
2
2 −1 2 =
−1
0
1
= 1 · 0 + 2(1 2) + 3(−1) 1 −1 + 21 2 + 3 · 0 1 · 1 + 2(−1 2) + 3 · 1 =
= 0 + 1 − 3 −1 + 1 + 0 1 − 1 + 3 = −2 0 3
−1

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
b) 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
Calculamos el determinante de coeficientes:
−2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
2
2 −1
∆= 3 −1 1 = + 2 −1 2 + 2 · 1 −2 + −1 3 · 1 − ( −1 −1 −2 +
−2 1
2
+2 · 1 · 1 + 2 · 3 · 2) = −4 − 4 − 3 + 2 − 2 − 12 = −23.
Calculamos los determinantes de las incógnitas:
3 2 −1
∆ 𝑥 = 3 −1 1 = −6 +2 − 3 − 1 − 12 − 3 = −23.
1 1
2
2 3 −1
∆ 𝑦 = 3 3 1 = 12 − 6 − 3 − 6 − 18 − 2 = −23.
−2 1 2
2
2 3
∆ 𝑧 = 3 −1 3 = −2 − 12 + 9 − 6 − 6 − 6 = −23.
−2 1 1
∆ 𝑦 −23
∆ 𝑥 −23
∆ 𝑧 −23
𝑥=
=
= 1; 𝑦 =
=
= 1; 𝑧 =
=
= 1; 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1, 1, 1 .
∆
−23
∆
−23
∆
−23
2·1+2·1−1=3
Comprobación
3·1−1+1 = 3
−2 · 1 + 1 + 2 · 1 = 1

2) (a) Dada la función 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒
crecimiento en el punto3, 1, 1 .

𝑧+𝑥

Estudia su dominio y la dirección de mínimo

(b) Dada 𝑧 = 𝑢2 𝑢 − 𝑣 , donde 𝑢 = 𝑥 cos 𝑦 2 , 𝑣 = 𝑥 2𝑦+1 , calcula

𝜕𝑧
𝜕𝑦

utilizando la

regla de la cadena.
(a) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒

𝑧−𝑥

, 𝐷 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐼𝑅2 / 𝑧 + 𝑧 ≥ 0
𝜕𝑓
,
𝜕𝑥
1

𝜕𝑓
,
𝜕𝑦

𝐷𝑀𝐷 = −∇𝑓 3, 1, 1 = −(

, −𝑒

𝑧+𝑥

𝑒 1+3 , −𝑒
2 1+3
−𝑒 2
−𝑒 2
=(
, −𝑒 2 ,
)
4
4

1+3

= (−𝑦
= −1

(b)2 𝑧+ 𝑥
1

𝑒

𝑧+𝑥

𝜕𝑓
)
𝜕𝑧 (3,1,1)
, −𝑦
, −1

1
2 𝑧+ 𝑥
1
2 1+3

𝑒

𝑧+𝑥

𝑒

1+3

)(3,1,1)

𝑧 = 𝑢2 𝑢 − 𝑣 = 𝑢3 − 𝑢𝑣, 𝑢 = 𝑥 cos 𝑦 2 , 𝑣 = 𝑥 2𝑦 +1 , ¿
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑢
𝜕𝑧 𝜕𝑣
=
+
= 3𝑢2 − 𝑣 2𝑥𝑦 −𝑠𝑒𝑛 𝑦 2
𝜕𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦

𝜕𝑧
𝜕𝑦

+ −𝑢2 2𝑥 2𝑦+1 𝑙𝑛𝑥 =

?

= − 3𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 2 − 2𝑥𝑥 2𝑦+1 cos 𝑦 2 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦 2 + − 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 2 2𝑥 2𝑦+1 𝑙𝑛𝑥 =
= − 3𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 2 − 2𝑥 2𝑦+2 𝑐𝑜𝑠 𝑦2 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦 2 − 2𝑥 2𝑦+3 𝑙𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 2

3

𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑧, 𝑥 2 + 𝑧𝑙𝑛 𝑦𝑧 2

(a) Calcula la matriz jacobiana de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
(1, 1, 1).

en el punto

(b) Consideramos la función de producción 𝑄 𝐾, 𝐿 = 4𝐾 𝛼+0.2 𝐿0.9−2𝛼 . Clasifica los
rendimientos a escala en función del parámetro α y explica el significado.
(a)

𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑧, 𝑥 2 𝑧𝑙𝑛 𝑦𝑧 2 ; (1, 1, 1)

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝑓: 𝐷∁𝐼𝑅3 → 𝑖𝑅 2
𝑥, 𝑦, 𝑧 →𝑓1 , 𝑓2
𝐷 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3 / 𝑦𝑧 2 > 0
𝑓1 : 𝐷∁𝐼𝑅3 → 𝐼𝑅 / 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑧
𝑓2 : 𝐷∁𝐼𝑅 3 → 𝐼𝑅 / 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑧𝑙𝑛(𝑦𝑧 2 )

𝜕𝑓1
𝜕𝑥
𝜕𝑓2
𝜕𝑥

𝐽𝑓 1, 1, 1 =

𝑦1𝑦𝑒
=

𝑥𝑦

+ 0 1𝑒

2𝑥 + 0
2

𝑦 𝑒
=

𝑥𝑦

2 1·1

1 𝑒
=

𝑥𝑦

+ 𝑦𝑥1𝑒
1𝑧 2
0+ 𝑧 2
𝑦𝑧

(1 + 𝑥𝑦)𝑒
𝑧
𝑦

2𝑥

𝑥𝑦

(1 + 1 · 1)𝑒
1
1

2·1

𝜕𝑓1
𝜕𝑦
𝜕𝑓2
𝜕𝑦

𝜕𝑓1
𝜕𝑧
𝜕𝑓2
𝜕𝑧

(1,1,1)

𝑥𝑦...