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Guía de progresiones

I) Ejercicios Resueltos
1.- Una mujer decide trotar una distancia particular cada semana, de acuerdo con el
siguiente horario: la primera semana trotará 1.000 metros por día. Cada semana
siguiente trotará 250 metros más por día de lo que trotó la semana anterior.
a) ¿Qué distancia recorrerá por día en la semana número 26?
b) en que semana trotará 10.000 metros por díaDesarrollo
a) Este ejercicio corresponde a una P.A, donde a =1.00; d = 250.
La semana 26correra a26 = 1.000 + (26 − 1)(259) = 7.250 por día en la semana 26.
an = 1.000 + ( n − 1)(250)

b) 10.000 = 1.000 + 250n − 250
n = 37
por lo tanto, ella trotará 10.000 metros por día de la semana 37.

2.- La diferencia en una progresión aritmética es –2 y el sexto término es 3.Encuentre el
primertérmino de la progresión.
Desarrollo
a6 = 3
a + 5d = 3
a + 5(−2) = 3

el primer término es 13

a = 13

3.- El primero de enero de 1980 se depositó un capital de US 200 en una cuenta que percibe
6% de interés compuesto anualmente. Encuentre la cantidad que habrá en la cuenta el
primero de enero de 1994.
Desarrollo
a14 = 200(1 + 0,06)14

4.- Una mujer desea pagar un préstamo libre deinterés de US 1.300, cancelando US 10 el
primer mes y aumentando su pago en US 15 cada mes. ¿En cuántos meses pagará la
totalidad del préstamo?. Halle la cantidad del último pago.
Desarrollo

⎛ 2(10) + (n − 1)15 ⎞
1.300 = n ⎜
⎟
2
⎝
⎠
⎛ 5 + 15n ⎞
1.300 = n ⎜
aceptamos n = 13, puesto que n debe ser positivo, luego el
⎟
⎝2⎠
3n 2 + n − 520 = 0
(3n + 40)(n − 13) = 0
se pagara la deudaen 13 pagos donde el pago final será el término 13, el cual corresponde
190.

5.- Un urbanizador construyó una casa en 1982.Con sus utilidades pudo construir dos casas
en 1983.Con las utilidades de éstas, construyó cuatro casas en 1984.Suponiendo que es
capaz de continuar duplicando el número de casas que construye cada año, encuentre el
número total de casas que habrá construido al finalde 1992.
Desarrollo

Corresponde a una P.G , se consideran 11 años el primer término es 1 y la razón es 2.
Luego el número total es la suma:
s11 =

1(1 − 211 )
= 2.047 casas.
1− 2

6.- La suma de los tres términos de una progresión aritmética es 21 y el producto del
primer y segundo término es 35. Determina dicha progresión.
Sol:
a1 + a2 + a3 =
a1 + (a1 + d) +
3 a 1 + 3 d = 21
a1 +d = 7
a 1 × a 2 = 35
a1×(a1 + d) =
a 1 × 7 = 35
a1 = 5 ⇒ d

21
( a 1 + 2 d ) = 21

35
=2

La progresión aritmética es: 5 , 7 , 9.

7.- La suma de los tres términos de una progresión aritmética es 30 y el producto de sus
términos es 910. Determina dicha progresión.
Sol:
a 1 + a 2 + a 3 = 30
a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) = 30
3 a 1 + 3 d = 30
a 1 + d = 10 ⇒ a 1 = 10 – d
a 1× ( a 1 + d ) × ( a 1 + 2 d ) = 910
( 10 – d ) × 10 × ( 10 – d + 2 d ) = 910
100 – d 2 = 91
d2 = 9
d = 3 ⇒ a1 = 7
d = – 3 ⇒ a 1 = 13
La progresión aritmética es: 7 , 10 , 13. ( o bien: 13 , 10 , 7 ).

8.- La suma de los cinco términos de una progresión aritmética es 65 y su diferencia es 5.
Determina dicha progresión.
Sol:

5[2a1 + (5 – 1)×5]
S 5 = ———————————– = 65
2
5 ( 2 a 1 +20 ) = 130
2 a 1 + 20 = 26
a 1 + 10 = 13
a1 = 3
La progresión aritmética es: 3 , 8 , 13 , 18 , 23.

9.- La suma de los 6 primeros términos de una PG es 9 veces la suma de los 3 primeros
términos. Determine su razón.
Sol:
S6 = 9S3
a1(1 − r 6 )
a (1 − r 3 )
=9 1
1− r
1− r

(1-r6) = 9(1-r3)
1-r6 = 9 – 9r3
r6 – 9r3 + 8 =0
9 ± 81 − 32 9 ± 49 9 ± 7
=
=
2
2
2
2
r 3 = = 1 ⇒ r = 1pero r ≠1
2
16
r3 =
=8⇒r =2
2

r3 =

Respuesta: La razón es r = 2

10.- El producto de los tres términos de una progresión geométrica es 1000 y la suma del
primer y segundo término es 12. Determina dicha progresión.
Sol:
a 1 × a 2 × a 3 = 1000
a 1 × a 1 r × a 1 r 2 = 1000
( a 1 r ) 3 = 1000
a 1 r = 10
a 1 + a 2 = 12
a 1 + a 1 r = 12
a 1 + 10 = 12
a1 = 2 ⇒ r = 5

La...