Taller De Calculo

CALCULO DIFERENCIAL
TALLER 1
Profesor
Fabio Andres Vallejo Narvaez
febrero 2013

1. Encuentre una expresion para la funci´n descrita y halle su dominio
o
(a) Un rect´ngulo tiene perimetro de 20 m. Expresar el area del rect´ngulo en funci´n
a
a
o
de la longitud de uno de sus lados.
(b) Un rect´ngulo tiene un area de 16 metros. Expresar el perimetro del rect´ngulo en
a
a
funci´n dela longitud de uno de sus lados.
o
(c) Expresar el area de un tri´ngulo equilatero en funci´n de la longitud de un lado.
a
o
(d) Expresar el area de la superficie de un cubo en funci´n de su volumen.
o
(e) Una caja rectangular abierta con un volumen de 2 m es de base cuadrada. Expresar
la superficie de la caja en funci´n de la longitud de un lado de la base.
o
(f) Una ventana tiene laforma de un rect´ngulo y finaliza por un semicirculo. Si el
a
perimetro de la ventana es de 30 pies, expresa el area de la ventana en funci´n de la
o
anchura de la ventana.
(g) Una empresa de taxis cobra dos dolares por la primera milla (o parte de un kilometro
y medio) y 20 centavos de dolar por cada decima extra de milla (o parte). Expresar
el costo (en dolares) de un viaje en funci´n de ladistancia recorrida (en kilometros),
o
y dibuje la gr´fica de esta funci´n.
a
o
2. Encuentre el dominio las siguientes funciones.

9−x
(a) f (x) =
,
x−3
3−x
(d) f (x) = cos−1
x−4

√
(b) f (x) =

1+x−
x

1−

, (e) f (x) =

√

1−x

1 − x2 ,

√

4x2 + 4x + 5
x4 − 11x2 − 18x − 8
x
(f) f (x) = ln
2+1
x

, (c) f (x) =

3. En cada caso defina una funci´n que tengalas caracteristicas dadas y dibuje su grafica
o
(a) Creciente en el intervalo [0, 1] y decreciente en el intervalo [2, 3].
(b) Polinomica cuya grafica corta al eje X en dos puntos distintos y pasa por el punto
(0, 2)
(c) Racional y su dominio es el conjunto de los n´meros reales.
u
(d) Su dominio es el conjunto de los n´meros reales y su rango son los enteros negativos.
u

1

4. Sea g (x)= x +

1
determine si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
x
(a) g (−1) = −g (1),

(b) g (4) = 2g (4)

(c) g (x + 1) = g (x) + 1,

(d) g (−x) = g (x).

5. Si f (x) es una funci´n polinimica tal que f (x2 + 1) = x4 + 5x2 + 3, encontrar f (x2 − 1)
o
6. En cada caso halle f + g , f − g , f g y
1
x+3
(b) f (x) = |x3 − 8|

−x − 2

(c) f (x) = −1


x−2
(a)f (x) =

f
con sus respectivos dominios.
g

x
x−2
g (x) = |x − 2|

y

g (x) =
y

si x < 0
si 0 ≤ x ≤ 1
si x ≥ 1

y

g (x) =

x2 + 1
5

si −2 ≤ x ≤ 2
En los otros casos

7. Determinar cuales de las siguientes funciones son uno a uno, si lo son demostrarlo de lo
contrario dar un contraejemplo.
(a) h(x) =

x2 − 5x + 7
,
|x|

(b) h(x) = x3 − 6x2 + 12x + 8

(c)h(x) = x3 − 2x − 1,

(d) g (x) =

1 + ex
1 − ex

8. En cada caso halle f ◦ g y g ◦ f , con sus respectivos dominios:
(a) f (x) =

√

x−3

(b) f (x) = x + 1
(d) f (x) =

g (x) = x2 + x

y

(c) f (x) = |x3 − 8|
x2

g (x) = x4 − x2 + 3

y

g (x) = |x − 2|

y

g (x) = 2x

y

1
y
g (x) = ArcSenx
x+1

2 − x
si x < −1

(f) f (x) = x
si −1 ≤ x < 1 y g (x) =

4−x
si x ≥ 1
En este ejercicio solo calcule g ◦ f

(e) f (x) =

9. Si f (x) = √

1
x2

−4

y g (x) =

√

x+2
x3 + x − 6

si x ≤ 2
si x > 2

−x

(a) calcular f ◦ g
(b) Hallar el dominio de f ◦ g
(c) Demostrar que f ◦ g es inyectiva
10. Utilice la transformaci´n de funciones para esbozar la gr´fica de la funci´n f (x) =
o
a
o
11. Considere la funci´n l(t) = 3cos 1−
o

t
2

+5
2

3x − 1
1−x

(a) Utilice la transformacion de funciones para realizar la grafica de la funci´n.
o
(b) Calcule el dominio, el rango, el periodo, la amplitud el maximo y el minimo de la
funci´n.
o
12. Determine si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:
(a) La composici´n de funciones pares siempre es par.
o
(b) La composici´n de funciones impares es...