Tema 1 El espacio R N 2011 2012

TEMA 1: EL ESPACIO RN

Í NDICE
RN

1. El espacio vectorial
2. El producto escalar euclídeo
3. Norma y distancia en RN
4. Ángulo y ortogonalidad en RN
5. Topología en RN
6. Nociones topológicas y métricas en RN
6.1. Conjunto cerrado
6.2. Topología relativa
6.3. Interior, exterior y frontera de un conjunto
6.4. Adherencia, acumulación y puntos aislados de un conjunto
6.5. Conjunto acotado yconjunto compacto
7. Sucesiones en RN
7.1. Sucesión convergente
7.2. Sucesión acotada
7.3. Sucesión de Cauchy

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Dado el cuerpo de los números reales R y un número natural N , RN denota el producto cartesiano de
R consigo mismo N veces, es decir, el conjunto de todas las N -uplas de elementos de R:
RN = {(x1 , . . . , xN ) : x1 , . . . , xN ∈ R} .
1.

E L ESPACIOVECTORIAL RN

Sean (x1 , . . . , xN ) e (y1 , . . . , yN ) dos elementos de RN y sea α ∈ R. Se definen la suma y el
producto por escalares en RN de la forma siguiente:
(x1 , . . . , xN ) + (y1 , . . . , yN ) = (x1 + y1 , . . . , xN + yN ),
α · (x1 , . . . , xN ) := α(x1 , . . . , xN ) = (αx1 , . . . , αxN ).
Para simplificar escribiremos (x1 , . . . , xN ) = x e (y1 , . . . , yN ) = y.
Veamos que RN ,+, · es un espacio vectorial sobre R. Los elementos del espacio vectorial RN se
llaman vectores, y los del cuerpo base R escalares.
Proposición 1.1. Se verifican las siguientes propiedades:
(1) La suma en RN es asociativa:
(x + y) + z = x + (y + z),

∀x, y, z ∈ RN .

(2) La suma en RN es conmutativa:
x + y = y + x,

∀x, y ∈ RN .

)
(3) La N -upla 0RN = (0, (N
. . .,
0) es el elemento neutro parala suma:

x + 0RN = x,
1

∀x ∈ RN .

TEMA 1: EL ESPACIO RN

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(4) Todo elemento de RN tiene un elemento opuesto:
∀x ∈ RN ,

∃ − x ∈ RN : x + (−x) = 0RN .

(5) El producto por escalares en RN es pseudoasociativo:
α(βx) = (αβ)x,

∀α, β ∈ R, ∀x ∈ RN .

(6) El producto por escalares en RN es distributivo respecto de la suma de escalares:
(α + β)x = αx + βx,

∀α, β ∈ R, ∀x ∈ RN .

(7) Existencia deelemento unidad:
1x = x,

∀x ∈ RN .

(8) El producto por escalares en RN es distributivo respecto de la suma en RN :
α(x + y) = αx + αy,

∀α ∈ R, ∀x, y ∈ RN .

El conjunto de vectores {e1 , . . . , eN } ⊂ RN , donde
ei = 0, . . . , 0, 1(i) , 0, . . . , 0

(i = 1, . . . , N ),

es una base de RN llamada base canónica. Por tanto, todo vector x = (x1 , . . . , xN ) ∈ RN se expresa
de manera única comocombinación lineal de los vectores de esta base en la forma x = N
i=1 xi ei . Los
números reales x1 , . . . , xN son las coordenadas de x respecto de la base canónica.
Es natural usar resultados propios de un primer curso de Análisis Matemático en esta asignatura. Por
ello haré referencia a veces a conceptos y propiedades que pueden encontrar en el libro:
[0 ] C. Aparicio y R. Payá, AnálisisMatemático I, Textos Universitarios, UGR, 1986.
Es aconsejable comprobar aquellas afirmaciones no probadas que aparezcan en estos apuntes. No
olviden el proberbio chino que dice: si miro, olvido; si leo, comprendo; si hago, aprendo.
2.

E L PRODUCTO ESCALAR EUCLÍDEO

La geometría euclídea del plano R2 y del espacio R3 (por ejemplo, los conceptos de longitud, distancia, ángulo y ortogonalidad) sepueden extender a RN con la ayuda del siguiente concepto.
Definición 2.1. Se llama producto escalar euclídeo en el espacio vectorial RN a la aplicación
(x, y) → (x|y) de RN × RN en R definida por
N

(x|y) =

x i yi ,

∀x = (x1 , . . . , xN ), y = (y1 , . . . , yN ) ∈ RN .

i=1

Sus propiedades básicas se deducen fácilmente de la definición.
Proposición 2.2. El producto escalar euclídeo en RN es:
(1)Lineal en la primera variable: (αx + βy|z) = α(x|z) + β(y|z),
(2) Simétrico: (y|x) = (x|y), ∀x, y ∈ RN .
(3) Definido positivo: x ∈ RN , x = 0RN ⇒ (x|x) > 0.

∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ RN .

TEMA 1: EL ESPACIO RN

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El resultado anterior nos dice que el producto escalar euclídeo es, de hecho, un producto escalar en
RN . Es el producto escalar usual de RN y se dice que RN , (·|·) es un espacio...