tensores

Teoría de Campos- Capítulo 1 Sección 1.2 - Álgebra tensorial
intrínseca

1.2 ÁLGEBRA TENSORIAL INTRÍNSECA

1. Concepto intrínseco de tensor
Los tensores son tipos especiales de aplicaciones lineales definidas en  (espacio
inicial), que tienen interés en Física (de los medios continuos). Su naturaleza
como apl. lin. viene determinada por el espacio final, que les confiere el llamadoorden tensorial, que les clasifica por categorías como se verá.

2. Ejemplos importantes de tensores descritos
intrínsecamente. Producto tensorial de vectores
3. Operaciones de e.v. entre tensores: los espacios
tensoriales
4. Contracción “· “ o producto contraído de tensores
5. Producto tensorial “” de tensores
Cuadro-resumen §1.2

1.2 a) Concepto intrínseco de tensor
1. tensores de orden0: son las apl. lineales más simples: las func. f : , de la forma f(x) = x. Se
puede identificar f con el escalar  = f(1), que determina f.
Así se define : (0) : (;)  
Ejemplo: la dilatación térmica lineal de un hilo es proporcional al incremento de temperatura y a la
longitud inicial, por un coeficiente de dilatación: L  LT  LT0  αLT0 T

2. tensores de orden 1: son las apl.lin. de la forma f :   .
Así se define :

(1) : (;) = (;(0))  *   2ó3 (obs: (1) := (;(0)) )

Ejemplos: 1) El incremento de cota z desde un pto. P de una ladera, z = h(x,y), cuando te desplazas una
magnitud r = x i + y j es aprox. el prod. esc. del gradiente de la ladera, h(P), por el vec.
desplazamiento desde el punto, r ; o sea: z  h(P)·r. La forma linealh(P)· es un tensor de
primer orden.
2) Asociando un vector cualquiera a con el producto escalar "·" en la forma a· se obtiene un tensor de
orden 1 siempre que definamos (a·)(x) := a·x, que es una acción lineal sobre los x y produce escalares,
luego: a· :  →  / x → a·x es un tensor de orden 1, o sea a·  (1) y se llama mónada asociada al
vector a (o covector asociado). El ejemplo anterior esun caso particular de éste.
Todos los tensores de primer orden son en realidad mónadas (o co-vectores) del tipo a· (pues la
asociación a → a· es el isomorfismo canónico entre  y * = (1) )
Ejemplo: La proyección (escalar) sobre una dirección dada por su versor e es la mónada e· , ya que e·x
es el valor escalar de la proyección de x sobre ({e}).

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intrínseca

3.tensores de orden 2: (2) := (;(1))  (;)  nn() , (n = 2 ó 3)
Ejemplo 1: díada o prod. tensorial de dos vectores: a, b , se define ab:  /
(ab)·x := a (b·x). El tensor de 2º orden (¿lo es?) ab se llama díada de antecedente a y de
consecuente b; la oper. “” se llama producto tensorial.
Por ejemplo, ee es el tensor proyección (vector)sobre el eje de versor e, o sea ({e})
Ejemplo 2: Tensor unidad o tensor métrico: Es la aplicación lineal identidad, que se describe
así: 1 :    / "xÎ: 1·x = x. Se tiene 1Î(2), pq. es lineal y produce vectores.
Ejemplo 3: tensor axial: Si un sólido  gira en el espacio alrededor de un eje e con una
velocidad angular , cada punto P   tiene una velocidad v(P) =  × r(P) , siendo  = e yr(P) = OP , el vector posición respecto a un punto O del eje, origen. La velocidad del punto
v(P) es el resultado de una aplicación lineal, común a todos los puntos del sólido, que actúa
sobre el vector posición de cada punto. Omitiendo P se tiene:
v = f(r) =  × r → se define el tensor: W := ×
resultando que P : v(P) = W·r = ×r(P)
Así se considera el tensor W, que actúa linealmentesobre cada r, y será W = × (2). (*)
Se generaliza el concepto de tensor axial a× para cualquier vector a, llamado eje o vector
axial del tensor a×
Ejemplo 4: Tensor de inercia : I(P) / h(P) = I(P)·, con h = mom. cinét. ang. = momento de
la cantidad de mvto. = r×(m v) ; y resultando así que debe ser I(P) = m (r2 1  rr)

Tensores de orden superior
El proceso de definición de espacios...