TEOR A DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

Conjuntos
 Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se
llama elemento del conjunto.
 Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de los elementos
que lo forman. Cuando tal enumeración sea larga o imposible se recurre a
fórmulas de recurrencia o a expresiones generalistas.
 Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B,C….
 Los elementos del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c…}.
 El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra Ø. Este
conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para aceptar algunas
propiedades.

Relación de pertenencia
Un elemento pertenece a un conjunto
cuando es de él. Si el elemento a
pertenece al conjunto A se escribe a є A.
Si elelemento a no pertenece al conjunto
A se escribe a ∉  A.

Ejemplos
 a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado con las
caras numeradas del 1 al 6 es A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
El elemento 7 ∉  A.
 b) El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}.
El número 10 є N, pero 3,2   ∉  N.
 c) De manera inconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que
unapersona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en
un edificio”.
 d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números
enteros, racionales y reales, respectivamente.
 e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto de todos los números
reales menos los números −2 y 3.

Subconjuntos
 Un subconjunto de A es cualquier conjunto
formado por cualquier número de elementosde A. Entre los subconjuntos de A se incluyen
el conjunto Ø y el mismo A.

Subconjuntos
 Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B  A; y
también se lee “B está contenido en A”.
 Por los dicho antes, A y A A.
 El símbolo  puede leerse al revés: . Esto es, B  A es lo mismo
que A B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.)
 No debe escribirse B A para indicar larelación B A.
 En cambio, si a  A puede escribirse {a}  A. Al meter el elemento
a entre llaves se considera el conjunto unitario {a}.
 Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C A.

Subconjuntos
 Un conjunto tiene muchos subconjuntos. Hay
subconjuntos con un solo elemento, que podrían
llamarse subconjuntos elementales; subconjuntos
con dos elementos; etc. (Puede demostraseque si un
conjunto A tiene n elementos, el número de
subconjuntos de A es 2 n, incluyendo el vacío y el
mismo A.)
 La relación de contenido cumple las propiedades
siguientes:
• 1. Si C B y B A C A.
• 2. Si A B y B A A = B.
• 3. Para todo conjunto A, A.

Ejemplos
 a) Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, algunos subconjuntos
de A son:
• {1}; {6}; {1, 2}; {2, 5}; {2, 4, 6}; {3, 4, 5, 6}; {1,3,
4, 5, 6}
• En total, A tiene 26 = 64 subconjuntos.
 b) En el conjunto de los números reales, los
intervalos son subconjuntos de R.

Subconjunto complementario de otro
 Si B es un subconjunto de A, se llama
complementario de B (respecto de A), al subconjunto
de A formado por los elementos que no son de B.
 El complementario de un conjunto B se representa
mediante alguno de estos símbolos: Bc, B´, aunque
existen otras notaciones. Aquí escribiremos Bc.
 El complementario siempre hace referencia a un
todo. Luego, el complementario de B es lo que le
falta a B para ser todo.

Ejemplos
 a) Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 5} ⇒ B c = {1,
3, 4, 6}.
• El complementario de C = {1, 3, 4, 5, 6} es Cc =
{2}.

Ejemplo
 b) En el conjunto de los números reales, el
complementario de losnúmeros positivos es el
conjunto formado por todos los números negativos,
más el cero.
• También en R, el complementario del intervalo (1,
3) puede escribirse así: R − (1, 3). Esto no debe
confundirse con R − {1, 3}, que sería el
complementario de dos números; mientras que R −
(1, 3) es el complementario de todos los números
mayores que 1 y menores que 3.

Diagramas de Venn
• Una forma frecuente...