TEOREMA DE MOIVRE

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DERAIZES DE NUMERO COMPLEJO

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cosa + i sen a) n = cos na + i sen naque es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cosa. Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor delmatemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).Potencia. La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la demultiplicar. El módulo se eleva a n. El argumento semultiplica por n Radicación de Números Complejos. La operación de radicación es inversa a la de potenciación Para un único número complejo zn, existen varios complejos z, que al elevarlos a lapotencia n, nos da el mismo complejo zn. Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismomódulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que: Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a' Aunque esto pareceaportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta condar a k los valores 1, 2, 3,..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces. Raíz Cuadrada Vamos a hallar :Primero pasamos z=4+3i a forma polar: z = 4+3i =536.9ºLa raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son: Si k=0 --> z1=18.4ºSi k=1 -->z2=198.4ºSi le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia....