Teorema de Moivre

N¶umeros complejos






1. El plano complejo. En el conjunto C = IR £ IR de¯nimos la suma y el producto de
dos elementos de C de la siguiente manera
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
(a; b):(c; d) = (ac ¡ bd; ad + bc)
Dejamos como ejercicio veri¯car que estas operaciones son asociativas y conmutativas,
que (0; 0) y (1; 0) son los elementos neutros para la suma y el productorespectivamente,
que (¡a; ¡b) es el inverso aditivo de (a; b) para todo (a; b) 2 C y que vale la propiedad
distributiva, es decir, z:(w1 + w2) = z:w1 + z:w2 para todo z; w1; w2 2 C.
Adem¶as, todo z 2 C, z = (0 6 ; 0) tiene un inverso multiplicativo, es decir, existe w 2 C tal
que z:w es igual al elemento neutro del producto. En efecto, si z = (a; b) con a = 0 o 6 b = 0 6
entonces a
2 +b
2 = 0 y vale( 6 a; b):
³
a
a2+b
2 ;
¡b
a2+b
2
´
= (1; 0). Por lo tanto w =
³
a
a2+b
2 ;
¡b
a2+b
2
´
es el inverso multiplicativo de z.
Notemos que, por la de¯nici¶on de suma y producto,
(a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0):(0; 1)
Luego, denotando por i al elemento (0; 1) resulta que i
2 = (0; 1):(0; 1) = (¡1; 0). Ahora,
identi¯cando los elementos de la forma (a; 0) (es decir, quetiene segunda coordenada nula)
con el n¶umero real a, de lo anterior resulta que (a; b) = a + bi donde i
2 = ¡1.
Luego, C = fa + bi = a; b 2 IRg donde i
2 = ¡1 y la suma y el producto se traducen en
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi):(c + di) = (ac ¡ bd) + (ad + bc)i
Adem¶as los elementos neutros para la suma y el producto son 0 y 1 respectivamente, el
inverso aditivo de z =a + bi es ¡z = ¡a ¡ bi y, si z = 0, su inverso multiplicativo es 6
z
¡1 =
a¡bi
a2+b
2 .
Llamaremos n¶umeros complejos a los elementos de C y llamaremos forma bin¶omica a la
escritura de un n¶umero complejo z 2 C en la forma z = a + bi con a; b 2 IR. Con esta
escritura puede verse a IR como un subconjunto de C: IR = fz = a + bi 2 C= b = 0g.
Dado z = a + bi con a; b 2 IR diremos que a esla parte real de z y que b es la parte
imaginaria de z y escribiremos a = Re (z), b = Im (z). Notemos que la parte real y la
parte imaginaria de un n¶umero complejo son n¶umeros reales. Adem¶as, dados z; w 2 C se
tiene que z = w si y s¶olo si Re (z) = Re (w) e Im (z) = Im (w).
1ALGEBRA I
Complejos
Dado z = a + bi, con a; b 2 IR, de¯nimos el conjugado de z como el n¶umero complejo
z = a ¡ biy de¯nimos el m¶odulo de z como el n¶umero real no negativo jzj =
p
a
2 + b
2
.
Observemos que jzj = 0 si y s¶olo si z = 0 y que, si z = 0, entonces el inverso de 6 z respecto
del producto es z
¡1 =
z
jzj
2 . Notemos adem¶as que jzj es la distancia del n¶umero complejo
z = (a; b) al origen de coordenadas (0; 0). En general, si z; w 2 C, jz ¡ wj es la distancia
de z a w.
Observaci¶on.Si a 2 IR entonces el m¶odulo de a visto como n¶umero complejo es igual a
p
a
2 + 0
2 =
p
a
2 =
n
a si a ¸ 0
¡a si a < 0
es decir, coincide con el valor absoluto de a visto como n¶umero real. Por lo tanto la
notaci¶on jaj no es ambigua.
Ejemplos. 1) Gra¯quemos en el plano complejo z = 1 + 2i, w = 4 + 3i, ¡z, z, z + w y
z ¡ w.
z
w
z+w
-z z
_
z-w
2) Gra¯quemos en el planocomplejo fz 2 C= jz ¡ (1 + 2i)j = 3g. Este es el conjunto de
los z cuya distancia a 1 + 2i es igual a 3, es decir, la circunferencia de centro en (1; 2) y
radio 3.
1+2i
2ALGEBRA I
Complejos
3) Hallar todos los z 2 C tales que 2iz = jz + 2ij.
Sean a = Re (z) y b = Im (z). Entonces z = a + bi con a; b 2 IR. Luego, z = a ¡ bi y
z + 2i = a + (b + 2)i. Por lo tanto
2iz = jz + 2ij () 2i(a ¡ bi) =
pa
2 + (b + 2)
2 () 2b + 2ai =
p
a
2 + (b + 2)
2
Luego, a = 0 y 2b =
p
(b + 2)
2
de donde resulta que a = 0, b ¸ 0 y 2b = b + 2. Por lo
tanto a = 0 y b = 2. Luego, hay un ¶unico z 2 C que satisface lo pedido, z = 2i.
4) Gra¯quemos el conjunto fz 2 C= jz + 1 ¡ ij · 2 y Re (z) + Im (z) · 1g.
Primero gra¯camos los z que satisfacen cada una de las condiciones por separado. Los
z = jz...