Teorema de moivre

El Teorema de De Moivre
El teorema de De Moivre describe un fórmula para determinar
potencias de un número complejo.
Un número complejo, en la formatrigonométrica elevado a un
entero positivo, n , se puede expresar

Ejemplo
•

Ejemplo
Use el teorema de De Moivre’s para cambiar (1 + i)6 a la
formaa + bi, donde a y b son números reales
Solución
Primero debemos determinar la forma trigonométrica para 1
+ i.
Revise el cálculo del módulo, r, y delargumento, θ.

Solución (cont.)
Ahora aplicando el teorema de De Moivre:

Teorema de raíces enésimas
• Podemos utilizar el teorema de De Moivre paradesarrollar una

fórmula para determinar raíces positivas de un número
complejo :
• Si z = r (cos θ + i sin θ) es un número complejo diferente de
cero ysi n es un entero positivo, entonces z tiene exactamente
n raíces diferentes que se pueden expresar en radianes

o en grados

donde k = 0, 1, 2, …, n-1

Ejemplo
Aproxime, a dos lugares decimales, las dos raíces
cuadradas de −5+ 12i
• Solución Determinemos la forma trigonométrica del número

Elnúmero complejo -5 + 12i está en el segundo
cuadrante, de modo que
Entonces, -5 + 12i =

Solución cont.

Ejemplo
•

8  8 3i.

Solución (cont)
• Usandoel teorema sobre raíces enésimas,

con n = 4, y
es

para k= 0, 1, 2, 3.

, la fórmula general que nos da las raíces

Solución (cont.)
La ecuaciónanterior se puede simplificar:

Sustituyendo 0, 1, 2, and 3 para k nos da :

Solución (cont.)
•

Ejemplo
•

Solución (cont)
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Solución (cont)
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