Teorema De Nyquist
Páginas: 15 (3568 palabras)
Publicado: 9 de septiembre de 2011
UNIVERSIDAD DON BOSCO
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO.
Ing. María Celia Parada Díaz.
Guión de clase
Diagramas de Nyquist.
A continuación se estudia un criterio que tiene el mismo objetivo que el de Routh, es decir, la estabilidad del sistema que se estudia. El criterio de Routh se relacionaba directamente con las raíces de la ecuación característica delsistema. Originalmente lo formuló en 1932 Harry Nyquist de los Bell Telephone Laboratories. Es importante observar que su utilidad en la práctica se relaciona con el hecho de que se puede aplicar a través de mediciones senoidales de rutina que es posible efectuar en el laboratorio.
La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del planoal plano. Este documento presenta elcriterio de estabilidad de Nyquist y sus fundamentos matemáticos.
Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 1. La función transferencia de lazo cerrado es:
Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica estén en el semiplano izquierdo. (Nótese que, aunque puede haber polos y ceros de la función de transferencia de lazo abierto en el semiplano derecho delplano, el sistema es estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado, es decir las raíces de la ecuación característica están en el semiplano izquierdo del plano ). El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto con la cantidad de ceros y polos de que hay en el semiplano derecho . Este criterio debido a H. Nyquist es útil eningeniería de control porque se puede determinar gráficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el análisis de estabilidad las curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analíticamente o experimentalmente. Esto es muy conveniente porque aldiseñar un sistema de control frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresión matemática y sólo se dispone de datos de su característica de respuesta de frecuencia.
El criterio de estabilidad de Nyquist está basado en un teorema de la teoría de las variables complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los contornos de transformación en el plano complejo.Se supone que la función transferencia de lazo abiertoes representable como una relación de polinomios en . Para un sistema físicamente realizable, el grado del polinomio denominador de la función transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del polinomio numerador. Esto significa que el límite de es cero o una constante para cualquier sistema físicamente construible, al tender haciainfinito.
Estudio preliminar.
La ecuación característica del sistema que se ve en la Fig. No.1 es
Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el planoque no pasa por ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano
La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen del planopor una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues másadelante se ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.
Sea, por ejemplo, la siguiente función transferencia de lazo abierto:
La ecuación característica es .
= 0
La funciónes analítica en cualquier parte del plano ; excepto en sus puntos singulares. Para cada punto de analiticidad en el plano , corresponde un punto en el plano . Por ejemplo, Si, entonceses:
Entonces el puntoen el planose transforma en el punto 1.1 2 – 0.577j en el plano .
Entonces, como se indicó antes, para un trayecto cerrado continuo dado en el plano , que no atraviesa ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano. La Fig. 2(a) muestra representaciones conformes de las líneas ω = 0, 1, 2, 3 y de las líneas σ = 1, 0, - 1, - 2, - 3, - 4 en el...
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO.
Ing. María Celia Parada Díaz.
Guión de clase
Diagramas de Nyquist.
A continuación se estudia un criterio que tiene el mismo objetivo que el de Routh, es decir, la estabilidad del sistema que se estudia. El criterio de Routh se relacionaba directamente con las raíces de la ecuación característica delsistema. Originalmente lo formuló en 1932 Harry Nyquist de los Bell Telephone Laboratories. Es importante observar que su utilidad en la práctica se relaciona con el hecho de que se puede aplicar a través de mediciones senoidales de rutina que es posible efectuar en el laboratorio.
La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del planoal plano. Este documento presenta elcriterio de estabilidad de Nyquist y sus fundamentos matemáticos.
Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 1. La función transferencia de lazo cerrado es:
Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica estén en el semiplano izquierdo. (Nótese que, aunque puede haber polos y ceros de la función de transferencia de lazo abierto en el semiplano derecho delplano, el sistema es estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado, es decir las raíces de la ecuación característica están en el semiplano izquierdo del plano ). El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto con la cantidad de ceros y polos de que hay en el semiplano derecho . Este criterio debido a H. Nyquist es útil eningeniería de control porque se puede determinar gráficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el análisis de estabilidad las curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analíticamente o experimentalmente. Esto es muy conveniente porque aldiseñar un sistema de control frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresión matemática y sólo se dispone de datos de su característica de respuesta de frecuencia.
El criterio de estabilidad de Nyquist está basado en un teorema de la teoría de las variables complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los contornos de transformación en el plano complejo.Se supone que la función transferencia de lazo abiertoes representable como una relación de polinomios en . Para un sistema físicamente realizable, el grado del polinomio denominador de la función transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del polinomio numerador. Esto significa que el límite de es cero o una constante para cualquier sistema físicamente construible, al tender haciainfinito.
Estudio preliminar.
La ecuación característica del sistema que se ve en la Fig. No.1 es
Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el planoque no pasa por ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano
La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen del planopor una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues másadelante se ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.
Sea, por ejemplo, la siguiente función transferencia de lazo abierto:
La ecuación característica es .
= 0
La funciónes analítica en cualquier parte del plano ; excepto en sus puntos singulares. Para cada punto de analiticidad en el plano , corresponde un punto en el plano . Por ejemplo, Si, entonceses:
Entonces el puntoen el planose transforma en el punto 1.1 2 – 0.577j en el plano .
Entonces, como se indicó antes, para un trayecto cerrado continuo dado en el plano , que no atraviesa ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano. La Fig. 2(a) muestra representaciones conformes de las líneas ω = 0, 1, 2, 3 y de las líneas σ = 1, 0, - 1, - 2, - 3, - 4 en el...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.