teorema de residuo

 Teorema del residuo
Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).
El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realiceotras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.
A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a esuna raiz del polinomio.
Residuo (análisis complejo)
Se denomina residuo de una función analítica f(z) en una singularidad aislada z=z_0 al número
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz
donde C representa una circunferencia de centro z_0 y radio R en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo z_0.
Cálculo de residuos
Si f(z) tiene una singularidad evitable enz_0, el residuo es \operatorname{Res}(f(z),z_0)=0. Si f(z) tiene un polo de orden N en z_0, entonces el residuo se puede calcular como:
\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, \frac{1}{(N-1)!} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}[(z-z_0)^N f(z)]
En particular, si N=1 (polo simple),
\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, (z-z_0) f(z)
Si el punto z_0 es una singularidad esencial,el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a z_0. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente -1.LA INTEGRAL DEFINIDA

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamentepor medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.

[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x =

(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =

(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x =

(seutiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.

Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces laintegral definida de f de a a b, que se indica es el número:

={short description of image} [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien

= donde x0 = a, xn = b y D x = .

(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, quese indica es el número:

=[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x

= donde x0 = a, xn = b y D x = .

(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:

= [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… +f(tn)] D x

= donde x0 = a, xn = b y D x = .

(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .

Notación y terminología:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.

La continuidad asegura que los...