Teorema De Reynolds

1.- Teorema de Reynolds
El teorema de Reynolds es una expresión matemática muy útil que relaciona integrales y derivadas y tiene grandes usos en la mecánica de medios continuos. En su aplicación a este campo, relaciona cómo varian las propiedades de una masa de control con cómo varían las propiedades de un volumen de control.
Masa de control
Es una cierta cantidad de material a la que hacemosun seguimiento. Por lo tanto, una masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa de agua de otra en medio del océano).

Volumen de control
Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control pueden atravesar un volumen de control. Los volúmenes decontrol son entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede variar con el tiempo.
 
Masa de control. Es un volumen de material en movimiento. 
Volumen de control. Es virtual y el material lo atraviesa.
En general, el teorema del transporte de Reynoldsrelaciona el ritmo de variación en un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos volúmenes y superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones superiores e inferiores. La exposición estará centrada, sobretodo, en el concepto de la masa de control por su cómoda interpretación física.
Por qué usamos masas de control y volúmenes de control?
Conocemos las leyes físicas que afectan a los objetos como las masas de control. Por ejemplo, las ecuaciones del movimiento de una una masa de control de aire (las leyes de Newton y de conservación de la energía), aunque son conceptualmente muy sencillas, sevuelven muy difíciles de integrar porque la masa de control puede desplazarse mucho y acabar en cualquier parte. Como las ecuaciones del movimiento dependen de las masas de aire del entorno (lo hacen a través de la presión y los esfuerzos viscosos, por ejemplo) y estas masas de aire pueden cambiar mucho a cada momento, no es de extrañar que la tarea de calcular el comportamiento del aire (o el medioque sea) pueda volverse algo formidable con esta formulación.
 
Las partículas vecinas de una masa de control pueden venir de cualquier lugar y son muy difíciles de seguir.
Ahora imaginemos un volumen cualquiera, fijo o con un movimiento cómodo de manejar. Este volumen es un volumen de control y las masas de control pueden, en general, atravesarlo. Si pudiéramos referir las ecuaciones delmovimiento no a las masas de control, sino al volumen de control, nuestros problemas quizá se volverían más fáciles de tratar. El teorema del transporte de Reynolds hace esto.
Propiedades extensivas y propiedades intensivas
Agarremos una masa de control cualquiera. En un instante de tiempo t, la masa de control tiene unas propiedades (cantidad de movimiento, masa, energía interna…). Diremos que estaspropiedades son Cm(t). Ahora bien, la masa de control ocupa un cierto volumen Vm(t). Podemos suponer que la propiedad C(t), que llamaremos extensiva, es la suma de una propiedadintensiva c(t,x) distribuida por los puntos x del espacio ocupado por la masa de control: 
Cm(t) = ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV. 
En la anterior integral, el símbolo dV indica el elemento diferencial de volumen.
Ritmo de variaciónde las propiedades de una masa de control
Las masas de control son objetos físicos normales y corrientes como pelotas, bolígrafos y gotas de agua. Sus propiedades Cm(t) tienen un ritmo de variación con el tiempo t que es igual a un término forzante o fuente (la fuerza para la cantidad de movimiento, por ejemplo) F: 
dCm ⁄ dt = F.
Aunque no hemos escrito explícitamente las dependencias...