TEOREMA DE ROLLE En

TEOREMA DE ROLLE En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando elvalor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido asus aplicaciones.
ENUNCIADO: Se puede enunciar de la siguiente manera
Si  es una función continua definida en un intervalo cerrado ,derivable sobre el intervalo abierto  y , entonces:
Existe al menosun punto  perteneciente al intervalo  tal que .
DEMOSTRACION:
Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de lafunción es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incrementales cero).
Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjuntocompacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función esconstante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto elmáximo Mestá alcanzado en el interior del intervalo.
Sea c en [a, b] tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es positivocuando x < c (porque su numerador es siempre positivo y su denominador es positivo no nulo), y es negativo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f'(c) es por definición el...