Teorema de Skolem

Teorema
de Skolem

El teorema recibe su nombre del noruego
Thoralf Albert Skolem y de la alemana
Amalie Emmy Noether.
Skolem demostró el teorema en 1927 en el
artículo “Zur Theorie der assoziativenZahlensysteme”, lo que en alemán
significa “Acerca de la teoría de sistemas
de números asociativos”.

El teorema de Löwenheim-Skolem establece que si
una teoría de primer orden numerable tiene unmodelo infinito, entonces para cualquier número
cardinal K, la teoría tiene un modelo de cardinalidad
K.
En este contexto, una teoría de primer orden es
simplemente un conjunto de fórmulas en un
lenguajede primer orden.

Una teoría es numerable si sus fórmulas pueden ser
puestas en correspondencia uno a uno con algún
subconjunto (finito o infinito) de los números
naturales.
Y una teoría tiene unmodelo infinito si tiene al
menos una interpretación con un dominio infinito
que hace verdaderas a todas las fórmulas de la
teoría.

Lo que el teorema afirma, entonces, es que si una
teoría tiene unainterpretación con un dominio
infinito que hace verdaderas a todas las fórmulas de
la teoría, entonces también tiene interpretaciones
con dominios de cualquier cardinalidad que hacen
verdaderas a todaslas fórmulas de la teoría.

Esto significa que las lógicas de primer orden son
incapaces de controlar la cardinalidad de sus
modelos infinitos: si una teoría tiene un modelo
infinito, entoncestambién tiene modelos infinitos
de todas las cardinalidades.

El teorema de LöwenheimSkolem descendente
Sea ℒ un lenguaje de primer orden de cardinalidad
K, donde K es un cardinal infinito. El teorema deLöwenheim-Skolem descendente establece que si ℒ
tiene un modelo de cardinalidad K, entonces
también tiene al menos un modelo de cardinalidad
menor o igual a K. La demostración del teorema
emplea elteorema de la existencia de modelos
dentro de la demostración de completitud para la
lógica de primer orden.

El teorema de LöwenheimSkolem descendente
El teorema establece una conexión entre la...