Teorema de Taylor y Teorema de Fourier

Teorema de Taylor y Teorema Fourier

Jhon Jarol Cuenca Castrill´
on
C´odigo:2004200102
Lizette Karina Polania Pe˜
na
C´odigo: 2005102455

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
´
FACULTAD DE EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS
NEIVA - HUILA
2009

Teorema de Taylor y Teorema Fourier

Jhon Jarol Cuenca Castrill´
on
C´odigo:2004200102
Lizette Karina Polania Pe˜
na
C´odigo: 2005102455

Trabajo presentado comorequisito para optar el T´ıtulo de Licenciado en
Matem´aticas.

Doctor: Mauro Montealegre C´
ardenas

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
´
FACULTAD DE EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS
NEIVA - HUILA
2009

Nota de aceptaci´
on

Director del Trabajo

Segundo Lector

Neiva, 23 de Julio 2009

Dedicatoria
A mis padres Arnulfo Cuenca Quevedo y Margaret Castrill´on Trujillo, a mi
hermana Aura CristinaCuenca Castrill´on, quienes me brindan su apoyo incondicional.
Jhon Jarol Cuenca C

A mis padres Julia Pe˜
na Yunda y Fernando Polania Fernandez, a mis hermanos Anyie Xiomara Polania Pe˜
na y Andr´es Fernando Polania Pe˜
na y a
mi compa˜
nero de tesis Jhon Jarol Cuenca Castrill´on, de los cuales me siento
orgullosa, les dedico ´este trabajo con amor.
Lizette Karina Polania P

Agradecimientos
Losautores expresan sus agradecimientos

A Dios por darnos habilidades y conocimientos para cumplir est´a meta.

Al doctor Mauro Montealegre C´ardenas, quien nos brind´o una gran asesor´ıa.

Al profesor Hernando Gutierrez Hoyos, por su valioso aporte y correcci´on
en la redacci´on de ´este trabajo, pues sin la ayuda de ´el la publicaci´on de ´este
trabajo no seria exitosa.

Al profesor Ricardo Cede˜
noTovar, por su colaboraci´on en algunas
inquietudes que se nos presentaron.

Desde lo m´as profundo de nuestros corazones a todos le decimos:
¡Muchas gracias!

Tabla de Contenido
Introducci´
on

8

1. Teorema de Taylor

10

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Brook Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. El polinomio deTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2. La formula de Taylor y de MacLaurin . . . . . . . . . . 19
1.3.3. F´ormula de Taylor con resto . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4. Propiedades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.5. Algunos ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1. C´alculo de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3. Aproximaciones con acotaci´on del error . . . . . . . . . 29
1.5. Gr´aficas con el Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. Teorema de Fourier

34

2.1.Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Jean-Baptiste Joseph Fourier

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3. Funciones Peri´odicas y Series Trigonom´etricas . . . . . . . . . 39
2.4. Ortogonalidad de las Funciones Trigonom´etricas y Coeficiente
de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Series de fourier de periodoarbitrario . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1. Forma exponencial de la serie de Fourier . . . . . . . . 47
2.6. Aplicaciones de las series de fourier . . . . . . . . . . . . . . . 54

6

2.7. Conducci´on del calor y separaci´on de

variables . . . . . . . . 58

2.7.1. Conducci´on de calor en una barra . . . . . . . . . . . . 58
2.7.2. La ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Conclusiones

63

Bibliograf´ıa

65

7

Introducci´
on
En matem´aticas nos enfrentamos con frecuencia a problemas en los cuales una
buena opci´on para trabajarlos es transformarlos en problemas que puedan
asociarse con modelos suficientemente conocidos y, en consecuencia, permitan el uso de analog´ıas.
En los dos cap´ıtulos se estudiar´an los conceptos b´asicos, los hechos y t´ecnicas
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