Teorema del eje paralelo








Teorema del eje paralelo

Resumen:
Al igual que en la práctica pasada se encuentra el momento de inercia para un cuerpo en el cual su eje de rotación pasa por el centro de masa. Sin embargo es esta ocasión se hace de una manera más directa al comparar este con el momento de inercia de un paralelo, con lo cual se pretende mostrar el teorema que respalda esta relación: Elteorema de Steiner. Para ello se miden los periodos de oscilación de un péndulo en torsión y se determina el cambio de los mismos conforme se cambia el lugar del eje rotación moviéndose a una mayor distancia del centro.Introducción
En esta práctica lo que se busca es determinar la variación del período de oscilación de un péndulo físico cuando se cambia el lugar del eje de rotación. Otro de los objetivos de la práctica es medir los periodos deoscilación de un péndulo de torsión y por último, pero no menos importante lo que se busca es emplear el Teorema del eje paralelo para determinar el momento de inercia de un disco.
Marco teórico:
Jakob Steiner fue un matemático suizo que vivió de 1796 a 1863. La labor de Steiner se centró en la geometría. Luego de su libro Systematische Entwicklungen creó con ayuda de los hermanos vonHumbolt una cátedra de Geometría en Berlín. Ha sido considerado el mayor genio de la geometría pura desde Apolonio de Perga.
El teorema de Steiner, también conocido como el teorema de eje paralelo, le debe su nombre a Jakob Steiner. El teorema establece que hay una relación entre el momento de inercia de un cuerpo mama M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inerciaalrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero desplazado una distancia d. Lo anterior se basa en el hecho de que un cuerpo tiene infinitos momentos de inercia debido a que tiene infinitos ejes de rotación.

La relación expuesta en el teorema de los ejes paralelos está expresada en la siguiente ecuación:
(I)
Donde Ipes el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; Icm es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
El péndulo de torsión: Un disco puede girar en el plano horizontal en torno al eje de una fibra vertical al estar torzonada en un ángulo ϴ en cual dala orientación del disco respecto a la orientación de equilibrio. En equilibrio, ϴ= 0 y no hay torsión en la fibra. Al haber una torsión, la fibra ejerce un momento sobre el disco que es proporcional al ángulo, con lo cual sabemos que la torsión es igual al ángulo por una constante:
(II)
Si tenemos un ángulo de rotación ϴ,aplicamos:
(III)
Con esta ecuación logramos obtener el momento de inercia del sólido rígido a lo largo del eje principal de inercia.
Si la fibra ejerce un momento de fuerza, . Si Ip es el momento de inercia del disco en torno al eje de la fibra, debido a lo obtenido en la práctica de momento de inercia, despejando α obtenemos:...