Teoria Binomio De Newton

TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

El binomio de Newton o teorema binomial fue creado por Isaac Newton en 1664 ó 1665, éste teorema sirve para obtener la potencia del n-èsimo término de un binomio teniendo las siguientes características:

Los binomios del tipo (a+b) ó (a-b) donde a es el primer elemento del binomio y b es el segundo elemento, ambos están relacionado con una suma o restaalgebraica y se presentan con un exponente n que puede ser :
Entero positivo n
Entero negativo -n
Fraccional negativo -1⁄n
Fraccional positivo 1⁄n
En el desarrollo del binomio de Newton se obtiene una secuencia de términos.
El binomio del tipo 〖(a+b)〗^n, donde n es entero y positivo tendrá n+1 términos en total.
Los binomios del tipo 〖(a+b)〗^(-n) ,〖(a+b)〗^(1⁄n) ,〖(a+b)〗^((-1)⁄n)tendrán un número infinito de términos en su desarrollo.
El primer término de todo binomio será a^nsiendo n cualquiera de los tipos de exponente mencionados anteriormente:
Si n es entero y positivo, la secuencia de términos comenzará en a^n donde se decrementarà en 1 en cada termino sucesivamente hasta presentarse como 〖a^(n-n)=a〗^0 en el último termino del desarrollo.
Si n es entero negativo ofraccional, la secuencia de términos comenzará en 〖a^(-n) ò a〗^(1⁄(n )) ò a^((-1)⁄n) donde se decrementarà en 1 en cada termino sucesivamente.
Si n es entero y positivo, la secuencia de términos respecto al elemento b comenzará en el primer término como b^(n-n)= b^0 donde posteriormente se incrementará en 1 en cada término sucesivamente hasta presentarse como b^n en el último terminodel desarrollo.
Si n es entero negativo o fraccional, la secuencia de términos respecto al el elemento b comenzará con el elemento b^0 donde se incrementará en 1 en cada termino sucesivamente.
La suma de los exponentes en cualquier término del desarrollo corresponderá al exponente del binomio.

Notación Factorial
Denotado por el símbolo es la multiplicación sucesiva desde el númeroindicado por n hasta 1 o bien desde 1 hasta n.
Ejemplo 1.
Si Entonces
n!=
Ejemplo 2.

 

Por definición.

Entonces:


Donde r es un número real.
En el siguiente ejemplo podemos observar cómo reducir la expresión de un factorial en una división, eliminando la multiplicación sucesiva que se repiten tanto en el divisor como en el dividendo.

Ejemplo 3.


Sin reducción en laexpresión:


Ejemplo 4.



Un factorial se puede desarrollar con combinaciones.
Siendo nCk=n!/(n-k)!k! donde se busca n combinaciones de k en k.
7!/3! =combinaciones= 7 combinaciones de 3 = 7!/(7-3)!3! = 5040/144=35
O bien:
7!/3! = (7*6*5)/3! = 210/6=35

La formula de la combinación se puede expresar también como , donde se deducen las n combinaciones de k en k elementos.
Entérminos de combinatoria representa la cantidad de maneras de obtener un subconjunto de " elementos" dentro de uno de " elementos" (o lo que es lo mismo, como elegir " elementos" dentro de " disponibles")
 

Desarrollo del binomio
La serie binomial se expresa por medio de dos formulas generales que a continuación se muestran.

Forma 1: Por factoriales

〖(a+b)〗^n=(a^n b^0)/0!+(〖na〗^(n-1)b^1)/1!+(〖n(n-1)a〗^(n-2) b^2)/2!+(〖n(n-1)(n-2)a〗^(n-3) b^3)/3!+⋯+(a^0 b^n)/n!

Forma 2: Por combinaciones

〖(a+b)〗^n=(■(n@0)) a^n+(■(n@1)) a^(n-1) b+(■(n@2)) a^(n-2) b^2+⋯+(■(n@n)) b^n
Dado que la formula de la combinación se define como:

nCk=n!/(n-k)!k!
Donde
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-n)
Ejemplo 5.
El desarrollo del binomio 〖(a+b)〗^3 en la forma 1 se puede expresar de la siguiente manera:〖(a+b)〗^3=a^3/0!+(3a^2 b)/1!+(3(3-1)〖ab〗^2)/2!+(3(3-1)(3-2)b^3)/3!

〖(a+b)〗^3=a^3/0!+(3a^2 b)/1!+(6〖ab〗^2)/2!+(6b^3)/3!

〖(a+b)〗^3=a^3+〖3a〗^2 b+3ab^2+b^3
Ejemplo 6.
El desarrollo del binomio 〖(a+b)〗^3 en la forma 2 se puede expresar de la siguiente manera:
〖(a+b)〗^3=(■(3@0)) a^3+(■(3@1)) a^(3-1) b+(■(3@2)) a^(3-2) b^2+(■(3@3)) b^3

〖(a+b)〗^3=(1) a^3+(3) a^2 b+(3) a^1 b^2+(1)b^3...