teoria de conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

Cantor publicó varios artículos entre 1867 y 1871 sobre teoría de números de gran calidad peronada indicaba que su autor cambiaría el curso de la matemática. Luego empezó a trabajar en series trigonométricas y aquí aparecen las primeras ideas sobre teoría de conjuntos. En 1874 publicó un artículo en la revista de Crelle que marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. En este artículo Cantor consideraba dos clases diferentes de infinitos (hasta entonces se consideraba que todos losinfinitos tenían el mismo tamaño) los que se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (los que se podían numerar) y los que no se podía. Cantor demostró que los números reales algebraicos se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales pero que esto no se podía hacer con los números reales

En 1878 Cantor envió otro artículo a la revista pero laTeoría de conjuntos era una materia muy discutida, especialmente por Kronecker, que pertenecía al equipo editor de la revista. El artículo fue publicado pero Cantor no volvió a enviar más artículos a la revista de Crelle. En este artículo Cantor introduce la idea de equivalencia de conjuntos (dos conjuntos son equivalentes, o tienen la misma potencia, si se pueden poner en correspondencia 1 a 1).
En1897 se publica la primera paradoja de la teoría de conjuntos (el ordinal del conjunto de todos los ordinales debe ser un ordinal y esto es una contradicción). En 1899 Cantor descubre otra paradoja (¿Cual es el cardinal del conjunto de todos los conjuntos?) . La última paradoja fue encontrada por Russell y Zermelo en 1902 (Si A = {X|X no es miembro de X}, ¿A es elemento de A?)
La paradoja deRussell minaba el edificio de las matemáticas. Russell junto con Whitehead intentó fundamentar las matemáticas en la lógica en Principia Mathematica. Este trabajo tuvo una gran influencia en las matemáticas.
A pesar de las paradojas, la Teoría de Conjuntos empezó a influir en otras áreas de las matemáticas. Lebesgue la utilizó en su integral
El primer intento de axiomatizar la Teoría de Conjuntos lahizo Zermelo en 1908. Después lo intentaron Fraenkel, von Neumann, Bernays y Gödel. Gödel mostró las limitaciones de cualquier teoría axiomática.

En el último cuarto del Siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica.
Primero, George Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentarla lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad delos números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos.
Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de lateoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.
Según la definición de conjunto de Cantor, éste es "una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto". Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y...