teoria de probabilidades





EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn se aproxima bien a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que estoocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.
Sea la función de densidad de la distribución normal definida como[1]

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamentedistribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n•µ y la varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Znconvergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático
Ejemplo:
El teorema del límite central para una variable aleatoria X que tiene distribución binomial, y de ese modo establece lavalidez de la aproximación normal a la distribución binomial.
La variable estandarizada para X es X*= (X-np)/ √npq, y la función generadora de momento para X* es













Por consiguiente,
E(e^(tX*) )=(1+t^2/2n+⋯)n
Pero a medida que n →∞ el lado derecho se aproxima a e^(t2/2), la cual es la función generadora de momento para la distribución normal estándar.

LA DISTRIBUCIÓNMULTINOMINAL
La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar no la ocurrencia de un único suceso o la de su contrario, sino la de varios sucesos (tres o más). La distribución multinomial, M(n,p1,…,pn) proporciona probabilidades de obtener, en m repeticiones independientes de un experimento, x1 veces el suceso A1, x2veces el suceso A2,…, xn veces el suceso An, donde dichos sucesos forman una partición del espacio muestral, es decir, tal que para y donde , por tanto, se cumple .
Así, considerando que Xi es el número de veces que se presenta el suceso Ai en las m repeticiones tenemos que la variable n-dimensional (X1, X2, …, Xn) sigue una distribución multinomial de parámetros n, p1, …, pn y su función deprobabilidad es para con .

Ejemplos:
Una caja contiene 5 bolsas rojas, 4 bolas blancas y 3 bolas azules. Se selecciona al azar una bola de la caja, se anota su color, y se devuelve a la caja. Se debe encontrar la posibilidad de que de 6 bolas seleccionadas de esta manera, 3 sean rojas, 2 sean blancas y 1 sea azul.
Método 1 (por fórmula)
P(rojo en cualquier retiro) = 5/12 P(blanco encualquier retiro) = 4/12
P(azul en cualquier retiro) = 3/12
Entonces,
P( 3 rojas, 2 blancas, 1 azul) = (6!¦3!2!1!) (5¦12)3 (4¦12)2 (3¦12)1=625/5184
Método 2
La probabilidad de escoger cualquier bola roja es 5/12. Entonces la probabilidad de escoger 3 bolas rojas es de (5/12)3. De manera similar, la probabilidad de escoger 2 bolas blancas es (4/12)2, y de escoger 1 bola azul es de(3/12)1. Por consiguiente, la probabilidad de escoger 3 rojas, 2blancas y 1 azul en tal orden es:
(5/(12 ))3(4/12)2 (3/12)1

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución...