tiempo discreto

Estabilidad de los sistemas en tiempo
discreto
En tiempo discreto también se puede hablar de estabilidad de estado y
de estabilidad de entrada salida de forma similar a la empleada para los
sistemas en tiempo continuo.
Podemos probar:
Estabilidad de estado
Estabilidad de entrada salida

Estabilidad de estado de los sistemas
en tiempo discreto
Con u(k) = 0  k, podemos observar quepara que el sistema sea
estable asintóticamente de estado según Lyapunov, la matriz
k
Φ(k )  A d debe extinguirse asintóticamente cuando k   .
k 1

x(k )  A d  x(0)   A d
k

k  j 1

j 0

B d  u( j )

k
Esto es la norma Φ(k )  A d debe tender a cero cuando k   .

lim Φ(k )  0
k 

con

  V

ˆ
Φ(k )  V  A d

k

1

 V  diag(i )  V 1
k

i kse extinguen. Lo
La condición será satisfecha cuando todos los modos
anterior implica que todos los valores propios i de la matriz Ad deben ser
menores que 1 lo que se expresa en la condición.
“condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica en tiempo
discreto”

λi  1  i  (1, 2, ..., n)

Criterios de estabilidad de estado a
partir de los coeficientes de la e. c.det(I - Ad )  p( )  0
p( )  an n  an1n1    a22  a1  a0
Método de Jury
Se basa en el arreglo de Jury, que tiene 2n-3 filas donde n es el orden
del polinomio característico en tiempo discreto.
 Los coeficientes ai se arreglan dos filas
 Se calculan las filas por pares hasta obtener una fila con solo tres coeficientes.
 Se comparan las magnitudes de los coeficientes a determinarla estabilidad del
sistema.

Tabla para evaluar el criterio de
estabilidad de Jury
Fila
1
2
3
4
5
6
.
.
.

2n-5
2n-4
2n-3

0

Arreglo de Jury


a0
an
b0
bn-1
c0
cn-2

1

2

a1
an-1
b1
bn-2
c1
cn-3

a2
an-2
b2
bn-3
c2
cn-4

r0
r3
s0

r1
r2
s1

r2
r1
s2

...
...
...
...
...
...
...
.
.
.

r3
r0

n-2

n-1

nan-2
a2
bn-2
b1
cn-2
c0

an-1
a1
bn-1
b0

an
a0

Criterio de estabilidad de Jury
Todos los ceros del polinomio característico tienen magnitud menor
que uno exactamente si las siguientes condiciones son satisfechas:
1) El polinomio característico evaluado en 1 es mayor que cero
p(1)  0

2) El polinomio característico evaluado en -1 es positivo para polinomios
de orden par ynegativo para polinomios de orden impar.
(-1)n p(1)  0

3) El coeficiente an del polinomio característico debe ser positivo y mayor
que el valor absoluto del coeficiente a0.
a0  an  0

4) Todos los coeficientes calculados de la columna izquierda en las filas
impares del arreglo deben tener una magnitud mayor que el coeficiente
más a la derecha de la misma fila.
b0  bn1

c0  cn2

s0  s 2

Pasos para la prueba de Jury
Pruebe primero las condiciones 1, 2 y 3.
Calcule los coeficientes del arreglo de Jury de la siguiente forma y
evalúe la condición 4 con ellos.
a
b0  det  0
a
 n

an 

a0 


bn1 
b

c0  det  0
b
b0 
 n1


 a0
b1  det 
a
 n

an1 

a1 


a
bk  det  0
a
 n

an  k 

ak 
bn1k 
b

ck  det  0
b
bk 
 n1


NOTA: Ya que el coeficiente s1 del arreglo de Jury no se emplea para
determinar la estabilidad, no es necesario calcularlo.

Ejemplo 1: Probar la estabilidad de
estado del sistema.
p( )  24  33  22    1
Procedemos a probar las tres primeras condiciones
p(1)  1  0



(1) n p(1)  (1) 4  9  9  0



a0  1  an 2  0



Las tres condiciones primeras fueron satisfechas por lo que
procedemos a calcular los coeficientes del arreglo de Jury y a probar la
condición 4.

Ejemplo 1: Arreglo de Jury
Fila
1
2
3
4
5

0

1

2

3

4

1
2
-3
-1
8

-1
-3
5
-2
-17

2
2
-2
5
11

-3
-1
-1
-3

2
1

Pruebas
 3  1
8  11


X

La condición 4 no es...