Tmp 2818 03 Derivadas 1392082195

TEMA 3: DERIVADAS.
ÍNDICE

1.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

2

2.

FUNCIÓN DERIVADA.

4

3.

REGLAS DE DERIVACIÓN.

5

4.

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD USANDO REGLAS DE DERIVACIÓN.

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Tema 3: Derivadas.

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1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Tasa de variación media.
DEF.
Llamamos incremento de f en x0 a la expresión ∆f = f (x 0 + h ) − f (x 0 ) . Es decir, a la variación delas
imágenes de la función f cuando la variable independiente pasa de x 0 a x 0 + h
DEF.

∆f

f (x 0 + h) − f (x 0 )
. Es decir, a la
h
h
variación relativa de f respecto al incremento h. Gráficamente es la pendiente de la recta secante que
pasa por los puntos P0 (x 0 , f (x 0 )) y P (x 0 + h, f (x 0 + h ))
Llamamos tasa de variación media al cociente

TVM f(x 0 ) =

=

h →0

Derivada.
IDEA.
Sireducimos el incremento h, haciéndolo cada vez más pequeño, la recta secante acabará
convirtiéndose en recta tangente a la gráfica de la función f en P0 ,
DEF.
Llamamos derivada de la función f en x0 al siguiente límite (si existe y es finito):
f '(x 0 ) = lim TVM f (x 0 ) = lim
h→0

h→0

∆f
h

= lim

h→0

f (x 0 + h) − f (x 0 )
h

Gráficamente f '(x 0 ) es la pendiente de la recta tangente a lagráfica de la función f(x) en el punto de
abscisa x 0 .

DEF.
Diremos que f es derivable en x0 si existe y es finito f ' (x 0 ) .
EJ 1.
Si f (x) = x 2 , halla su derivada en x 0 = 1 .
f (1 + h) − f (1) (1 + h) 2 − 1 h 2 + 2h
=
=
= h + 2 ; f '(1) = lim TVMf (1) = lim (h + 2) = 2 .
h→0
h→0
h
h
h
La pendiente de la recta tangente en x0 = 1 es 2
TVMf (1) =

Tema 3: Derivadas.

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EJ 2.
Si g(x) = 3 x ,halla su derivada en x 0 = 0 .
g(0 + h) − g(0) 3 h − 0
1
1
=
=
; g'(0) = lim TVM g(0) = lim
= +∞
3
3
h
→
h
→
2
0
0
h
h
h
h2
La recta tangente a la curva en x0 = 0 es perpendicular al eje X. La función no es derivable en ese punto.
TVM g(0) =

Derivadas laterales.
DEF.
Se llama derivada por la izquierda de f en x0 a f '(x 0 − ) = lim

h→0 −

f (x 0 + h) − f (x 0 )
h

DEF.
Se llama derivada por laderecha de f en x0 a f '(x 0 + ) = lim

h→0 +

f (x 0 + h) − f (x 0 )
h

OBS.
Para que una función sea derivable en x 0 deben de coincidir sus derivadas laterales.
Si las derivadas laterales son distintas tendremos un punto anguloso.
Si las derivadas son laterales coinciden, la curva es “suave”.

Tema 3: Derivadas.

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Derivabilidad y continuidad.
Veamos la relación existente entre funcionescontinuas y derivables.
Continuidad ⇏ Derivabilidad
Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él. Es lo que ocurre con los
puntos angulosos y en los puntos de tangente “vertical”.
Derivabilidad ⇒ Continuidad
Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.
DEM:
Sea f una función derivable en x 0 . Queremos probar que f es continua en x 0 , es decirlim f (x) = f (x 0 ) .
x →x0

Si hacemos el cambio de variable x = x 0 + h , el deberíamos probar que lim f (x 0 + h ) = f (x 0 ) .
h →0

Veámoslo:

 f (x 0 + h ) − f ( x 0 ) 
lim ( f (x 0 + h ) − f (x 0 )) = lim 
⋅ h  = f '(x 0 ) ⋅ 0 = 0 . Por tanto lim f (x 0 + h ) = f (x 0 ) , es decir f
h→ 0
h →0
h

es continua en x 0 .
h→0

EJ 3.
Estudia la derivabilidad y continuidad de la siguientefunción en el punto x 0 = 1.
 x 2 + 2, x ≤ 1
f (x) = 
x + 2, x > 1
f es continua en x=1 ya que lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 3
x →1 −

x →1+

f '(1 − ) = lim

f (1 + h) − f (1)
h 2 + 2h
(1 + h) 2 + 2 − (1 + 2)
= lim
= lim
= lim (h + 2) = 2
h→0
h →0
h→0
h
h
h

f '(1 + ) = lim

f (1 + h) − f (1)
(1 + h) + 2 − (1 + 2)
h
= lim
= lim = 1
h→0
h→0 h
h
h

h →0 −

h →0 +

f no es derivable en x=1 yaque las derivadas laterales no coinciden (es un punto anguloso).

2. FUNCIÓN DERIVADA.
DEF.
Si una función f es derivable en todos los puntos de un intervalo I, podemos definir la función derivada
de f de la siguiente manera.
f ' : I → R
x → f '(x)
OBS.
Si f ' es derivable, su derivada se llama f ' ' (derivada segunda). Así sucesivamente se definen
f ''' , f IV , f V ,L f (n .
Otra forma de...