Transformaciones lineales.

Unidad 5
Temario

Tema 1) Introducción a las transformaciones Lineales.
Tema 2) Núcleo e imagen de una Transformación Lineal.
Tema 3) La matriz de una Transformación Lineal.
Tema 4) Aplicación de las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción y Rotación.

Introduccion a las Transformaciones Lineales.

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismocampo k. Una transformación lineal de V en W, es una función

tal que:
i)

,

.
ii)

,

,

.
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si

es una transformación lineal, entonces

.
En efecto. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

.
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)

es lineal si y solo si

,

,

.
Si T lineal, entonces

. Inversamente, supongamos que

,

,

. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:
a)

.
b)Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)

es lineal si y solo si



,

.
La demostración se hace por inducción sobre n.
a) Si

, entonces

, por la condición (ii) de T.
b) Supongamos válido para n. Probemos para

:
Por la condición (i) de T, tenemos que,

Y porhipótesis de inducción, tenemos que,



Así que podemos concluir que,


Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:


Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.
Ejemplo 1.
Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

, y por otro lado,

. Por lotanto, vemos que

.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como

.
Ejemplo 2.
Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como

Núcleo e imagen de una transformación Lineal.
Definiciones

Sean V y W espaciosvectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }
Si T: V -> W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:



Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vectornulo del codominio.
• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1.- dado que T(0V) = 0W

2.- Dados

3.- Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))



O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector deldominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

Sea T:V->W una transformación lineal de V en W; se define el núcleo de T como



Nótese que N(T) es un subespacio de V. Por otro lado, se define la imagen de T como

Im(T)es un subespacio de W. Si A es un subespacio deV y B es un subespacio de W, entonces los conjuntos



Son subespacios de W y V respectivamente. Obsérvese que N(T)=T-1(0) , e Im(T)=T(V). La dimensión del espacio imagen Im(T)se conoce como el rango de la transformación T , y se denota por Rank(T).

La matriz de una Transformación Lineal.

Sea T : V ! W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones...