Transformaciones lineales

Transformaciones Lineales.
1.1.-Introducción a las transformaciones lineales.
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean  y  espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo, y  una función de  en.   es una transformación lineal si para todo par devectores  y  pertenecientes a  y para todo escalar  perteneciente a, se satisface que:
1.
2.  donde k es un escalar.


Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x
En R2 se define una función T mediante la fórmula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura1. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es unatransformación lineal de R2 en R2.

Transformación lineal nula
 

Transformación lineal identidad
 

Homotecias
 con 
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones.




Clasificación de las trasformaciones lineales.
1. Monomorfismo: Si  es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 
2. Epimorfismo: Si  es sobreyectiva (suryectiva).3. Isomorfismo: Si  es biyectiva (inyectiva y suryectiva)
4. Endomorfismo: Si  o sea si el dominio es igual al codominio.
5. Automorfismo: Si  es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

1.2.-Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los
Vectores en V que se mapean a cero en W.
Ker(T) = {v ∈ V | T(v) =0 ∈ W}

Ejemplo 2.
Indique cuales opciones contienen un vector en el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como:

Dentro de las opciones:
1. v1 = (0,0,0)′
2. v2 = (12, −28,8)′
3. v3 = (1, −2,1)′
4. v4 = (3, −7,2)′
5. v5 = (2, −4, −4)′
6. v6 = (9, −18, −15);

Solución.
Antes de pasar a la verificación, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal queT(x) = A·x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x. Empecemos con la dimensión de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el número de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3, entonces el numero de renglones de A es 3. Si requerimos que

No es difícil ver:

es decir que:El vector v1 está en el núcleo de T debido a que:

El vector v2 está en el núcleo de T debido a que:

El vector v3 no está en el núcleo de T debido a que:



El vector v4 está en el núcleo de T debido a que:

El vector v5 no está en el núcleo de T debido a que:

El vector v6 no está en el núcleo de T debido a que:

El núcleo de una matriz y la tecnología.
Prácticamente la totalidadde los sistemas computacionales que manejan matrices vienen acompañados de funciones para manejar el kernel de una matriz. En el caso de Maple (fig.2) la instrucción nullspace (A) entrega una base para el núcleo de la transformación lineal T(X) = A X. Desafortunadamente, para la TI Voyage 200 no aparece un comando similar.
Núcleo e Imagen son subespacios
La propiedad fundamental del núcleo y delcontradominio es que ambos son espacios vectoriales:
Teorema
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces
Ker(T) es un subespacio de V .
R(T) es un subespacio de W.
Demostración
El núcleo de T es subespacio, sean v1 y v2 elementos del n´ucleo de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0
Probando que c1 v1+ c2 v2 está también en el núcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un subespacio de V .La imagen de T es subespacio sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2
Probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por...