Transformaciones lineales

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A
Transformaciones
Lineales

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1.1. Transformaciones lineales • • • • ] ]
1.1.1. Espacios vectoriales
Se denomina espacio vectorial V sobre un cuerpo K a un conjunto de
elementos, llamados vectores, junto con dos operaciones: adición (ley de
composicióninterna) y multiplicación por escalares (ley de composición
externa), tales que dos vectores cualesquiera: v1 y v2 determinan
unívocamente un vector suma v1 + v2 y cada vector v de V y cada escalar
k de K determinan un producto por escalar k . v en V, con las siguientes
propiedades:
1. (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)
(asociatividad)
2. v1 + v2 = v2 + v1
(conmutatividad)
3. v1 + θ = v1
(exist.de elem. neutro: θ vector nulo)
4. k . (v1 + v2) = k . v1 + k . v2
(distributividad con respecto a la suma
de vectores)
5. (k1 + k2) . v = k1 . v + k2 . v
(distributividad con respecto a la suma
de escalares)
(asociatividad)
6. (k1 . k2) . v = k1 . (k2 . v)
7. 1 . v1 = v1
(existencia de elemento neutro
multiplicativo)
Se nota (V, +, K, .)
SUBESPACIO VECTORIAL: un subconjunto no vacíoW del espacio
vectorial V es un subespacio de V si para cada par de vectores w1 y w2 de
W, w1 + w2 y k . w1 (para todos los escalares k) están contenidos en W.
Se puede verificar que todo subespacio de un espacio vectorial V es
también un espacio vectorial.
COMBINACIÓN LINEAL: se dice que un vector v ∈ V es combinación lineal
r

de los vectores v1, v2, ..., vr (vi ∈ V) si v =

∑

ki .vi

ki ∈

ℜ

i =1
r

El conjunto de todos los vectores de la forma

∑

ki . vi

i =1

números reales arbitrarios, es un espacio vectorial sobre

donde las ki son

ℜ

DEPENDENCIA LINEAL: se dice que los vectores v1, v2 ..., vr de un espacio
vectorial V son linealmente dependientes si existen números reales k1, k2,
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[ […..………..…………………………..…… Sección 1.1:Transformaciones lineales
r

... kr, no todos nulos, tales que

∑

ki . vi = θ Si es así, por lo menos uno

i =1

de dichos vectores podrá expresarse como combinación lineal de los otros
vectores dados.
r

Por ejemplo: si k1 ≠ 0

k1. v1 = −

∑

ki . vi

v1 = −

i=2

1
k1

r

∑

ki . vi

i=2

INDEPENDENCIA LINEAL: recíprocamente, los vectores vi son linealmente
rindependientes si la única combinación lineal

∑

ki . vi = θ es aquella

i =1

para la cual k1 = k2 = ... = kr = 0
Observación: todo subconjunto de un espacio vectorial que contiene al
vector nulo es linealmente dependiente.
GENERADORES: se dice que un conjunto de vectores v1, v2, ..., vr
engendra o genera un espacio vectorial V si cualquier vector v ∈ V puede
expresarse como combinaciónlineal de los vectores dados.
BASE: una base de un espacio vectorial V es cualquier subconjunto suyo
linealmente independiente que engendra el espacio entero. La representación de un vector en un espacio vectorial V como combinación lineal
de los vectores de una base dada, es única.
DIMENSIÓN: la dimensión de un espacio vectorial es igual al número de
vectores de cualquiera de sus bases, o loque es lo mismo, al mayor número
de vectores L.I. en el espacio. Existen espacios que no son de dimensión
finita: por ejemplo, el espacio de todos los polinomios (de todos los grados
posibles). Tales espacios se dicen de dimensión infinita.
COORDENADAS o COMPONENTES de un vector: si el conjunto
B = {v1, v2, ..., vn} es una base del espacio vectorial V sobre K, entonces
cada vector de V puedeexpresarse de modo único como C.L. de esa base,
o sea: si a ∈ V, entonces, existen y son únicos los escalares a1, a2, ..., an
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n

tales que

a =

∑

ai vi. Respecto de la base B, el vector a queda

i =1

caracterizado por los coeficientes de la C.L., o sea por la n-upla de elementos
de K: (a1,...