Transformaciones Lineales

Álgebra y Geometría Analítica
TEORÍA: Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales
Definición: Se llama Transformación Lineal a una función definida de un espacio vectorial a otro espacio vectorial
y que tiene las siguientes propiedades.
T: Rn  Rm
1) T(̅1 + ̅2) = T(̅1) + T(̅2)
∀x1 y ∀x2 de Rn
2) T(α.̅) = α T(̅)
∀̅ Є Rn y ∀α Є R

Transformación cero: Z
Demostramos que eslineal:
Z: Rn  Rm: Z(̅ ) = ̅
∀̅
̅1 + ̅2) = ̅ = ̅ + ̅ = Z(̅1) + Z(̅2)
1) Z(
2) Z(α.̅) = ̅ = 0 . ̅ = 0.Z(̅) = α.Z(̅1)
Con esto demostramos que Z es una transformación lineal.

Transformación Identidad: I
I: Rn  Rm
:
I(V)
∀
1) I( ̅ 1 + ̅ 2) = ̅ 1 + ̅ 2 = I( ̅ 1) + I(̅ 2)
2) I(α. ̅ ) = α.̅ = α.I(̅ )
 La transformación identidad es una Transformación Lineal.

Teorema 1:
Dada unaTransformación Lineal de un espacio V a otro W, se verifica lo siguiente:
Dado T: VW
1) T( ̅ v) = ̅ w
2) T(- ̅ ) = -T(̅ )
3) T(α1. ̅ 1 + α2. ̅ 2 + … + αn. ̅ n) = α1.T(̅ 1) + α2.T( ̅ 2) + … + αn.T(̅ n)
Demostración:
1) T( ̅ v) = T(0. ̅ v) = Como T es lineal => T(0. ̅ v) = 0.T( ̅ v) = ̅ w
2) T(- ̅ ) = T[(-1).̅ ] = Como T es una Transformación Lineal y (-1) un escalar => T[(-1).̅ ] = -1.T(̅ )
3)No se demuestra porque se demuestra por inducción completa y eso no usamos.

Teorema 2: Teorema fundamental de las Transformaciones Lineales
Sea T de Rn en Rm una Transformación Lineal y A = {̅ 1, ̅ 2, …, ̅ n} una Base de Rn. Entonces el transformado de
cualquier vector de Rn se puede expresar como una Combinación Lineal de los vectores del conjunto {T( ̅ 1), T(̅ 2),
…, T(̅ n)}.
Demostración:Tomamos un vector cualquiera X de Rn y A es una base de Rn => se lo puede expresar como una Combinación
Lineal de los vectores de esa base:
Sea X Є Rn => ̅ = x1.̅ 1 + x2.̅ 2 + … + xn.̅ n
=> T(̅) = T(x1.̅ 1 + x2. ̅ 2 + … + xn.̅ n) = x1.T(̅ 1) + x2.T(̅ 2) + … + xn.T(̅ n)
=> T(̅) = x1.T(̅ 1) + x2.T(̅ 2) + … + xn.T(̅ n)  Con esto queda demostrado el teorema.

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Teorema 3: Subespacios asociados a una Transformación Lineal
Toda transformación Lineal tiene 2 Subespacios asociados a él: Núcleo o Kernel e Imagen.
Núcleo o Kernel de T:
Sea T: VW una Transformación Lineal. El conjunto de todos los vectores de V que tienen como imagen al vector
nulo se llama Núcleo o Kernel de la transformación lineal.Simbólicamente:
N(T) = Ker(T) = { ∀ ̅ Є V : T(̅ ) = ̅ }
Propiedades del Núcleo:
El núcleo de una Transformación Lineal es un subespacio del espacio V.
Demostración:
Vamos a demostrar que N(T) es un subespacio de V.
1) Como ̅ Є V => T( ̅ ) = ̅ => N(T) ≠ Ø
2) N(T) Є V
3) Si ̅ Є N(T) ^ ̅ Є N(T) => T(̅ ) = ̅ ^ T(̅ ) = ̅ => T(̅ + ̅ ) = T(̅ ) + T( ̅ ) = ̅ + ̅ = ̅ =>
=> T(̅ ) + T( ̅ ) Є N(T).
4) Si V ЄN(T) => T(̅ ) = ̅ =>
T(α. ̅ ) = α.T(̅ ) = α. ̅ = ̅ => T(α.̅ ) Є N(T)

Imagen de T:
Sea T: VW una Transformación Lineal. Se llama imagen de la transformación a todos los vectores de W que sean
imagen de por lo menos 1 vector de V.
Simbólicamente:
Img(T) = { ̅ Є W : ∃ ̅ Є V : T(̅ ) = ̅ }
Propiedades de la imagen de T:
La imagen de una Transformación Lineal es un subespacio del espacio W.Demostración:
1) ̅ Є V; T(̅ ) = ̅ . ̅ => Img(T) ≠ Ø
2) Img(T) Є W
3) Si ̅ 1 Є Img(T) ^ ̅ 2 Є Img(T) => ∃ ̅1 Є V / T(̅ 1) = ̅ 1; ∃ ̅ 2 Є V / T(̅ 2) = ̅ 2 =>
=> T(̅ 1 + ̅ 2) = T(̅ 1) + T(̅ 2) = ̅ 1 + ̅ 2 => Є Img(T).
4) Si W Є Img(T) => ∃ ̅ Є V : T( ̅ ) = ̅ =>
=> T(α.̅ ) = α.T(̅ ) = α. ̅ => Є Img(T)

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Teorema 4: Matrizasociada a la transformación para las bases canónicas
Sea T: RnRm una Transformación Lineal => ∃ y es única una matriz ST de mxm tal que el T(̅ ) = ST.X ∀ ̅ Є Rn.
ST: Matriz estándar asociada a T.
X: Matriz de las coordenadas de ̅ en la base de Rn.
Demostración:
T: RnRm es Transformación Lineal.
E1 = { ̅ 1, ̅ 2, … , ̅ n} base canónica de Rn
E2 = { ̅ 1, ̅ 2, … , ̅ n} base canónica de Rm...