Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales
Dado dos espacios vectoriales U y V sobre el campo escalar F de…nimos una transformación lineal como sigue De…nición 0.1. Si T es una aplicación entre U y W T :U !W tal que 1. (a) T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u; v 2 U (b) T ( u) = T (u) para todo u 2 U; decimos que T es una transformación lineal Ejemplo 0.1. Sea T la aplicación de…nida por 1 x B C T@ y A= z 0 x+yy+z ! 2F

Vamos a ver si es una aplicación lineal Primero: identi…quemos los espacios vectoriales U y W U = R3 entonces tenemos que T : R3 ! R2 para probar el item (a) tomamos dos vectores en U = R3 1 x1 B C u = @ y1 A z1 1 0 1 x2 B C v = @ y2 A z2 0 W = R2

entonces

luego aplicamos T al vector u + v 0

1 x 1 + x2 B C u + v = @ y1 + y2 A z1 + z2 !

0

1 x1 + x2 B C T (u + v) = T @y1 + y2 A = z1 + z2 ordenando adecuadamente el ultimo vector T (u + v) = x1 + y 1 + x2 + y 2 y1 + z1 + y2 + +z2 ! =

x1 + x2 + y1 + y2 y1 + y2 + z1 + z2

x1 + y1 y1 + z1

!

+

x2 + y 2 y2 + +z2

!

= T (u) + T (v) ahora para probar el item (b) consideramos 0 2 F = R y u 2 U = R3 ; luego 1 x1 C y1 A z1 !

u=

1 0 x1 B C B @ y1 A = @ z1

Ahora aplicamos T al vector u 1 ! x1 x1 +y1 B C T ( u) = T @ y1 A = = y1 + z1 z1 ! x1 + y 1 = = T (u) y1 + z1 por tanto T es una transformación lineal Ejemplo 0.2 (Transformación nula). Sean U y W dos espacios vectoriales y T : U ! W de…nida por T (u) = 0 para todo u 2 U Observación 0.1. 0 denota el vector nulo de W Ejemplo 0.3. Sea U = R3 ; W = M22 entonces la transformación nula T : U ! W; 0 1 x B C implica que para todo vector u = @ yA la transformación T lo lleva a la matriz nula, z 2 0 (x1 + y1 ) (y1 + z1 )

esto es

Un ejemplo de una transformación lineal poco usual es el siguiente Ejemplo 0.4. Sea T : C [0; 1] ! R; de…nida por T (f ) = Z
1

1 x B C T@ y A= z

0

0 0 0 0

!

f (x) dx

0

entonces T es una transformación lineal Aqui los espacios vectoriales son U = C [0; 1] y V = R entonces para probarel item (a) tomamos dos vectores f; g 2 U; dos funciones continuas en el intervalo [0; 1] ; luego T (f + g) = (f + g) (x) dx Z 1 Z 1 g (x) dx f (x) dx + T (f + g) =
0 0 0

Z

1

T (f + g) = T (f ) + T (g)

para probar el item (b) tomamos un escalar f 2U T ( f) = T ( f) = Z
1

2 F = R entonces aplicamos T al vector Z
1

( f ) (x) dx = Z
1

(f (x)) dx

0

0

f (x) dx = T (f )0

con lo cual queda probado que T es una transformación lineal. Enunciaremos a continuación dos teoremas que Teorema 0.1. Sea T : U ! W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u; v; v1 ; v2 ; ; vr 2 U y para todos los escalares 1 ; 2 ; ; r se tiene: 1. T (0) = 0 2. T (u 3. T ( v) = T (u)
1 v1

T (v) +
r vr )

+

2 v2

+

=

1T

(v1 ) +

2T

(v2 ) ++

rT

(vr )

Teorema 0.2 (Unicidad de la transformación). Sean U; W dos espacios vectoriales de…nidos sobre el campo escalar F = R; y dos transformaciones lineales T1 ; T2 de U en W , esto es T1 : U ! W T2 : U ! W 3

Ademas B = fu1 ; u2 ; ; un g una base del espacio vectorial U y w1 ; w2 ; cualesquiera en W; tales que T1 (ui ) = T2 (ui ) = wi ; entonces T1 = T2 para i = 1; 2; ;n

; wnvectores

Este teorema es muy útil, pues nos dice que si tenemos una base de U (espacio de diemnsión …nita) y conocemos T (U ), entonces podemos determinar T (v) ; v 2 U; es mas podemos determinar cual es la regla de correspondencia de T si es necesario. Ejemplo 0.5. Sea T : P2 ! P1 y B = f1; x; x + x2 g una base de P2 si T (1) = 0 T (x) = 1 T x + x2 = 2x + 1

determinar T (3 + 2x + x2 ) : Loprimero que debemos notar es que como B es base de P2 entonces 3 + 2x + x2 es una combinación lineal de los elementos de B esto es existen escalares únicos
1; 2; 3

2 F = R tal que
2

3 + 3x + x2 = luego

1

(1) +

(x) +

3

x + x2

3 + 3x + x2 = entonces deducimos que
1

1

+(

2

+

3) x

+

3x

2

= 3;

3

= 1;

2

=2

luego 3 + 3x + x2 = 3 (1) +...