Transformada de Fourier

LAFA. Laboratorio de An´ lisis de Fourier Aplicado
a

Transformada de Fourier*

1. De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primeras
consideraciones
´
Las series de Fourier son utiles para el estudio de se˜ ales peri´ dicas pero, desafortunadamente,
n
o
este tipo de se˜ ales no son tan frecuentes en la pr´ ctica como las no-peri´ dicas. Esta situaci´ n requiere
n
a
oo
el desarrollo de una teor´a matem´ tica m´ s ambiciosa y a ello vamos a dedicar alg´ n tiempo.
ı
a
a
u
Sea x(t) una se˜ al aperi´ dica1 definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0)
n
o
la se˜ al 2T -peri´ dica que se obtiene a partir de x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T ] y
n
o
extendiendo peri´ dicamente con periodo 2T . Si suponemos que x(t) essuficientemente suave (e.g.,
o
1
es C (R)), entonces tendremos la identidad
x(t) = xT (t) =

1
2T

∞

T

x(s)e−(πi/T )ks ds e(πi/T )kt , para t ∈ (−T, T ]

(1)

−T

k=−∞

Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la
igualdad l´mite ser´ v´ lida para todo t ∈ R y su valor ser´ igual al de la se˜ al de partida x(t).
ı
aa
a
n
Ahora,estudiemos qu´ le sucede al segundo miembro si hacemos T → ∞. Tomando ∆f =
e
1/(2T ) y fk = k ∆f , podemos reescribir (1) como
∞

x(t) =

T

x(s)e−2πifk s ds e2πifk t , para t ∈ (−T, T ]

∆f
−T

k=−∞

Ahora bien, |fk+1 − fk | = ∆f = 1/2T ( k ∈ Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {fk }
como nodos equiespaciados de una partici´ n de Riemann para la integral l´mite
o
ı
∞∞

−∞

−∞

x(s)e−2πif s ds e2πif t df

Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la se˜ al
n
aperi´ dica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier):
o
∞

∞

−∞

−∞

x(t) =
*

x(s)e−2πif s ds e2πif t df

Este documento est´ basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira,“Matem´ ticas para la recua
a
peraci´ n de se˜ ales”, Grupo Editorial Universitario, 2005.
o
n
1
Es decir: no peri´ dica.
o

LAFA. Laboratorio de An´ lisis de Fourier Aplicado
a

Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf , podemos reescribir la anterior f´ rmula como
o
x(t) =

1
2π

∞

∞

−∞

−∞

Definici´ n 1 La se˜ al
o
n

x(s)e−iξs ds eiξt dξ
∞

x(s)e−iξs ds

F(x)(ξ ) := x(ξ ) :=
−∞

toma el nombre de transformada de Fourier de la se˜ al (aperi´ dica) x(t) ∈ L1 (R).
n
o
Definici´ n 2 La se˜ al
o
n
F −1 (y )(t) :=

1
2π

∞

y (ξ )eiξs dξ

−∞

toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la se˜ al (aperi´ dica) y (ξ ).
n
o
Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como
1
2π
1
=
2π

∞∞

−∞
∞

−∞

x(t) =

x(s)e−iξs ds eiξt dξ

F (x)(ξ )eiξt dξ = F −1 (F (x))(t)

−∞

y, de manera an´ loga,
a
F (F −1 (y ))(ξ ) = y (ξ ).
Una cosa es clara: bajo ciertas hip´ tesis (que luego especificaremos), conocer la transformada
o
de Fourier de una se˜ al equivale a conocer dicha se˜ al, ya que al aplicar la transformada inversa
n
n
recuperamos toda la informaci´ n. Deigual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier {ck }∞ −∞
o
k=
de cierta se˜ al (peri´ dica) x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos
n
o
la se˜ al, pues para rescatarla completamente bastar´ sumar la correspondiente serie de Fourier. As´,
n
a
ı
el papel del espectro de la se˜ al, que en el caso peri´ dico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el
no
caso aperi´ dico lo juega la transformada de Fourier.
o
Para evitar problemas con la definici´ n de transformada de Fourier, supondremos que la se˜ al x(t)
o
n
es absolutamente integrable en R. Es decir, supondremos que
∞

||x||L1 (R) =

|x(t)|dt < ∞.
−∞

En tal caso, su transformada x(ξ ) existe y est´ uniformemente acotada en R, pues |e−iξs | = 1 para
a
ξ, s ∈ R implica |x(ξ...