Transformada de Fourier

Propiedad

Se˜ al Aperi´dica
n
o

Transformada de Fourier

Linealidad

ax(t) + by(t)

aX(ω) + bY (ω)

Desplazamiento temporal

x(t − t0 )

e−jωt0 X(ω)

Desplazamiento en frecuencia

ejω0 t x(t)

X(ω − ω0 )

Conjugaci´n
o
Se˜ al
n

X ∗ (−ω)

x(−t)

X(−ω)

Coef. serie de Fourier

Escalado

x(at)

1
|a| X

(si es peri´dica)
o
+∞

Transformada deFourier

x∗ (t)

Inversi´n temporal
o
Convoluci´n
o

x(t) ∗ y(t)

X(ω)Y (ω)

Multiplicaci´n
o

x(t)y(t)

1
2π X(ω)

Diferenciaci´n en tiempo
o

jωX(ω)

Integraci´n
o

d
dt x(t)
t
x(τ )dτ
−∞

Diferenciaci´n en frecuencia
o

tx(t)

d
j dω X(ω)

+∞

ak ejkω0 t

2π

k=−∞

ak δ(ω − kωo )

ak

k=−∞

ejω0 t

a1 = 1

2πδ(ω − ω0 )

cos ω0 t

ak =0 k = 1
a1 = a−1 =

π [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]
π
j

sin ω0 t
1

1
2

ak = 0, con otro valor
a1 = −a−1 =

[δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )]

ω
a

1
jω X(ω)

∗ Y (ω)
+ πX(0)δ(ω)

Relaci´n de Parseval
o
+∞
−∞

1
2j

1
2π

|x(t)|2 dt =

+∞
−∞

|X(ω)|2 dω

ak = 0, con otro valor
Tabla 2: Propiedades de la Transformada de Fourier

a0 = 1

2πδ(ω)

ak = 0 k =0

Onda cuadrada peri´dica
o
x(t) =

+∞

1, |t| < T1
0, T1 < |t| ≤

T
2

k=−∞

2 sin kω0 T1
δ(ω
k

− kω0 )

sin kω0 T1
kπ

=

ω 0 T1
π sinc

x(t + T ) = x(t)
+∞

2π
T

δ(t − nT )
n=−∞

x(t) =

1, |t| < T1
0, |t| > T1

Propiedad

+∞

δ ω−
k=−∞

2πk
T

X(ω) =

δ(t)

ak =

1
T

1, |ω| < W

1

0, |ω| > W

-

1
jω

δ(t − t0 )e−jωt0

-

e−at u(t), {a} > 0

1
a+jω
1
(a+jω)2
1
(a+jω)n

-

te

u(t), {a} > 0

tn−1 −at
u(t),
(n−1)! e

{a} > 0

x(t)

+ πδ(ω)

Linealidad

Coef. Serie de Fourier

Periodo T (ω0 =

2π
T )

Ax(t) + By(t)

ak
bk
Aak + Bbk

Desplazamiento temporal
-

u(t)

−at

Se˜ al peri´dica
n
o

para todo k

y(t)

2 sin ωT1
ω

sin W t
πt

kω0 T1π

-

-

x(t − t0 )

ak e−jkω0 t0

Desplazamiento en frecuencia

ejM ω0 t x(t)

ak−M

Conjugaci´n
o

x∗ (t)

a∗
−k

Escalado temporal

x(αt), α > 0

ak

Peri´dica con periodo T /α
o
Convoluci´n Peri´dica
o
o
Multiplicaci´n
o

T

x(τ )y(t − τ )dτ

T a k bk
+∞

x(t)y(t)

al bk−l
l=−∞

d
dt x(t)
t
x(τ )dτ
−∞

Diferenciaci´n
o
Integraci´n
ojkω0 ak
(Finita y peri´dica
o

1
jkω0

Simetr´ Conjugada
ıa

a k = a∗
−k

x(t) real

Relaci´n de Parseval
o
1
T

T

|x(t)|2 dt =

+∞
−∞

|ak |2

Tabla 3: Propiedades de la Serie Continua de Fourier

1

ak

s´lo si a0 = 0)
o

Tabla 1: Pares B´sicos de Transformadas de Fourier
a

2

Propiedad

Se˜ al
n

Transformada de Fourier

Coef. serie deFourier
(si es peri´dica)
o

+∞

ak ejk(2π/N )n

2π

k=

ak δ(Ω −
k=−∞

2π
N k)

2πδp (Ω − Ω0 )

π [δp (Ω − Ω0 ) + δp (Ω + Ω0 )]

π
j

sin Ω0 n

(b)

1

2πδp (Ω)

2πm
N

X(kΩ)
X(Ω)Y (Ω)

Multiplicaci´n
o

x[n]y[n]

1
2π X(Ω)

Diferenciaci´n en tiempo
o

x[n] − x[n − 1]

(1 − e−jΩ )X(Ω)

irracional ⇒ la se˜al es aperi´dica
n
o

n

2πm
NAcumulaci´n
o

0,

Ω0
2π

k = ±m ± lN, l = 0, 1, ...
otro valor

irracional ⇒ la se˜al es aperi´dica
n
o


 0,

Ω0
2π

δ[n − kN ]

N
2

2π

ak δ(Ω −
k=−∞

1, |n| ≤ N1

x[n] =
sin W n
πn

0, |n| > N1
=

W
π

sinc

+∞

δ Ω−

k=−∞
1
1−ae−jΩ

a u[n], |a| < 1

Wn
π

Diferenciaci´n en frecuencia
o

2πk
N

Relaci´n de Parseval
o
+∞

X(Ω) =0, W < |Ω| ≤ π

0 0

z − {∞} si m < 0

1
1−αz −1
1
1−αz −1
αz −1
(1−αz −1 )2
αz −1
(1−αz −1 )2
1−(cos Ω0 )z −1
1−(2 cos Ω0 )z −1 +z −2
(sin Ω0 )z −1
1−(2 cos Ω0 )z −1 +z −2
1−(r cos Ω0 )z −1
1−(2r cos Ω0 )z −1 +r 2 z −2
(r sin Ω0 )z −1
1−(2r cos Ω0 )z −1 +r 2 z −2

e

|z| > |α|

u(t)

−e−αt u(−t)

|z| < |α|

n−1

t
−αt
u(t)
(n−1)! e
tn−1
− (n−1)! e−αt...