Transformada de Fourier

En matemática, la transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función gdefinida de la manera siguiente:

g(\xi ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx
Donde f es \displaystyle{ L^{1}} , es decir, f tiene que ser una función integrableen el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta formade normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y \xi suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia-herzios-,...) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

g(\xi ) = \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\beta\xi\,x} dx
de forma que la constante beta cancelalas dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puedeextenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría delos números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales latransformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de lamatemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí...