Transformada Fourier



1
f (t) 
2



F() exp(i t) d



La transformada
de
Fourier


F ( ) 





f (t ) exp(it ) dt

La transformada de Fourier
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta
acotada en R.
Se define su transformada de Fourier como:

F ( ) 



 f (t ) e

 i t

dt


Siendo la anti-transformada o transformada inversa


f (t ) 

1
2

it
F
(

)
ed




Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se
denota por F o fˆ, es decir

F [ f (t )]  F ( )  fˆ ( ) 



 f (t ) e

 i t

dt



En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() sele
llama transformada inversa de Fourier y
se denota por F –1 ,es decir

F [ F ( )]  f (t ) 
1


1
2

 F ( )e



i t

d

Transformadas integrales
b

F ( )   K ( , t ) f (t ) dt
a

– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio  o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, deHilbert, de Radon, etc

Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la
solución en el espacio original.

Problem in

Relatively easy solution

Transform space

Transform space
Inverse transform

Integral transform
Original
problem

Solution inDifficult solution

Solution of
original problem

Ejemplo. Calcular F() para el pulso
rectangular f(t) siguiente:
1

f(t)

t
-p/ 0
2

p/
2

Solución. La expresión en el dominio del
tiempo de la función es:
0

f (t )  1
0


t  2p
p
2 t 
p
2 t

p
2

Integrando:

F ( ) 



 f (t ) e

 i t

p/2

e

dt 





1
 i

e

 it

Usando la fórmula
de Euler:

p/2
p / 2



 i tdt

p/2

1
 i

(e

 i p / 2

sen(p / 2) 

i p / 2

e

e

i p / 2

 e  i p / 2
2i

sen (p / 2)
F ( )  p
 p sinc (p / 2)
p / 2

)

0

f (t )  1
0


p
2

t
p
2 t 
p
2

t

En forma gráfica,
la transformada es:
F(w)

p =1

p
2

F ( )  p sinc (p / 2)

F(w) con p=1
1

0.5
0
-50

0

50

w

Algunas funciones no poseen
transformada de Fourier
La condición de suficienciapara que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:




g ( x) dx  
2



es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.

La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son
ambas en general complejas.

F  f( x)  Fr (k )  iFi (k )

De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:

F  f ( x)  F (k )  A(k )ei ( k )
A  F (k )  F  Fi
2
r

2

A  amplitud o magnitud espectral
  fase espectral
A  F  Fr2  Fi 2  espectro de potencia
2

2

La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:


Fr (k ) 

 f ( x) cos(kx)dx


Fi (k ) 

 f ( x) sin(kx)dx



Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
F .T .

f (t)
ˆf  
F .T .
ˆ   gˆ 





f

f
(t)

g(t)
F .T .
g(t)
gˆ  

F .T .
ˆ
f (t)
f    (a  ib) f (t)
(a  ib) fˆ 
F .T .

La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
F()

f(t)



t
G()

g(t)

t
F() + G()

f(t) + g(t)
t



F {af (t )  bg (t )} 
aF { f (t )}  bF {g (t )}

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:


a
 0 , t 
2

b
a

t
f (t)  1 ,
; a b0
2
2


b
2 , t 

2

La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:

f (t)  g(t)  h(t)


a
b


0 , t  2
0 , t  2

donde g(t)  
;
h(t)

1 , t  a...