transformada z

UNIDAD II

• La
transformada
Zeta
es
una
herramienta
útil
en
teoría
de
control en tiempo discreto y su
papel es análogo al que juega la
transformada de Laplace en tiempo
continuo
• Dada una secuencia discreta x(k) se
define su transformada Z como:

• La transformada Z para una
en
el
tiempo
x(t) o
secuencia x(kT), donde t
número positivo, k adopta
enteros positivos desde0,
el periodo de muestreo

función
de
la
es un
valores
y T es

• Estas dos ecuaciones se conocen

como la transformada unilateral de
Z

EJEMPLOS:
• La transformada Z de
viene definida por
0, ... será:

la

secuencia

impulso que

x(0) = 1, x( 1) = 0, x( 2) =

NOTA: Es importante resaltar que, cuando se trata
con una secuencia de tiempo x(kT) obtenida
mediantemuestreo, la transformada Z, X(z),
involucra al periodo de muestreo T. Por otro lado,
para una secuencia de tiempo x(k) , la
transformada no incluye explícitamente a T.

1. EJEMPLO: La transformada Z para el
escalón unitario definida como
es:

2. EJEMPLO: Para la rampa Unitaria definida
como

• Al muestrearla se obtiene

• Cuya figura es:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto -Katsuhiko Ogata

• Su transformada es

3. EJEMPLO: obtener la transformada Z
de:
• SOLUCIÓN

4. EJEMPLO: Considere la función
senoidal

• SOLUCIÓN: Observemos

Recordando que

Se tiene que:

5. EJEMPLO: Considere la función
cosenoidal
SOLUCIÓN

6. EJEMPLO: Obtenga la transformada Z de

SOLUCIÓN: se observa que la
expresión está dada en s, una
manera de obtener latransformada
Z es convertir X(s) al tiempo
x(t) y luego obtener la
transformada Z de x(t)

De allí que la transformada Inversa de X(s)
es:
Por consiguiente:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

• Linealidad de la transformada z: Si f(kT)
y g(kT)tienen transformada z, y α y β
son escalares, siendo T el periodo de
muestreo, entonces

•

Suma y Resta: Si f(k) y g(k) tienen
transformadas F(z) y G(z), entonces:
Z(f(k)+g(k))=F(z)+G(z)
Z(f(k)-g(k)) = F(z)-G(z)

• Multiplicación por una constante:

Z(rf(k)) = rF(z)
• Traslación real

Z(f(kT-nT) = (z-n)F(z)
Z  f (kT  nT )  z

n

y también

 n 1

  x(kT )  z k
 k 0


• Multiplicación por akT: Si X(z) es la
transformada Z de x(kT) entonces

• Teorema de traslación compleja: Si x(t)
tiene la transformada Z, X(z) , entonces
aT
la transformada Z de X ( z  e ) viene dada por
e  aT  x(t )
• Teorema del valor inicial: Si x(t) tiene
por transformada Z, X(z) , y si el lim X ( z )
z 
existe, entonces el valor inicial x(0)
de x(t) óx(k) está dado por:

lim x(kT )  x(0)  lim X ( z )
k 0

z 

•

Teorema del Valor Final: Suponemos que x(kT) ,
siendo T el periodo de muestreo, tiene la
transformada Z,
X(z) , con
x(kT)
= 0
para
valores negativos de k, y que todos los polos
de X(z)
están
dentro
del círculo unitario,
con la posible excepción de un sólo polo en z
= 1. Esta es la condición para la estabilidadde X(z) , es decir, la condición para que x(kT)
con (k = 0, 1, 2...) permanezca finita. Entonces
el valor final de x(kT) , que es su valor
conforme el tiempo tiende a infinito, puede
obtenerse mediante:

lim x(kT )  lim (1  z 1 )  X ( z )
k 

z 1

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

1.Encuentre la Transformada Z de una
función escalón Unitario que está
retrasada dos y cuatro periodos de
muestreo respectivamente, como se muestra
1(t-2T)

Para dos periodos de muestreo

1(t-4T)

Para cuatro periodos de muestreo

• SOLUCIÓN :
Para la señal escalón unitario
desplazada dos periodos de muestreo
se obtiene
2
1
z
Z [1(t  2T )]  z Z [1(t )]  z

1
1 z
1  z 1...