transporte

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad de Ingeniería
Curso-Taller de Resolución de ejercicios de Cálculo 3

Elaborado por: M. I. Fernando López Solís
Bernal Mota Hugo César

PRACTICA 1
1. Plantear una transformación de 2 a 3 cuya imagen sea la superficie



x2 y 2 z 2
 ( x, y, z ) /


 1 , además calcule la matriz jacobiana de la

4
4
9

transformación planteada y el plano tangente a la superficie en un punto fijo de
ella.
Una solución es:

f : 0, 2     3 ; f (t, u)  (2cosh t senu, 2cosh t cos u,3senht )

z

x
y

La matriz jacobiana correspondiente es:
 2senht senu 2 cosh t cos u 


Df (t , u )   2senht cos u 2 cosh t senu 
 3cosh t

0



Una ecuación vectorial del plano tangente a la superficie enel punto f  1,   es:


 6



 

P  cosh1, 3 cosh1,3senh1  t



3 cosh1,  cosh1,0  s( senh1, 3senh1,3cosh1)
1 de 33

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad de Ingeniería
Curso-Taller de Resolución de ejercicios de Cálculo 3

Elaborado por: M. I. Fernando López Solís
Bernal Mota Hugo César

x

y
y
x

2F
 y
2.- Sea F ( x, y )  x 3   .Calcular
.
xy
x

Solución.

y
x
 u
 x3
u y

 x2
u

Sea u 
F
y
F
y

2
2F

2   u
x
 2x
2
xy
u x
u

2F
 2

  y 2  2x
xy
u
u
2F
Un caso particular Si (u )  2e . Calcular
.
xy
u

Solución:

2 F
 2 ye x  4 xe x
xy
y

y

2 de 33

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad deIngeniería
Curso-Taller de Resolución de ejercicios de Cálculo 3

3.-

Calcule

el

volumen

de

la

Elaborado por: M. I. Fernando López Solís
Bernal Mota Hugo César

región

R

limitada

inferiormente

1  ( x, y, z ) / z  x 2  y 2  y superiormente por 2  ( x, y, z ) / z  5  2 x 2  2 y 2 

por:

Solución

1 Es un paraboloide de revolución que se abre haciaarriba y con vértice en el
origen y  2 es un paraboloide de revolución que se abre hacia abajo con vértice
en (0,0,5), ambos con eje de rotación el eje z.
El sólido limitado superiormente por 1 e inferiormente por  2 se muestra en la
figura siguiente:

z

x

y

Restando las ecuaciones de 1 y  2 obtenemos x 2  y 2 
un cilindro circular de eje el eje z y radio r 

5
quecorresponde a
3

5
, el cuál es el cilindro proyectante
3

de la curva de intersección.

3 de 33

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad de Ingeniería
Curso-Taller de Resolución de ejercicios de Cálculo 3

Elaborado por: M. I. Fernando López Solís
Bernal Mota Hugo César

z
z

y

x

y

x

La proyección del sólido sobre el plano XY es la región limitada por lacircunferencia con ecuaciones cartesianas:
x2  y 2 

5
3

 z0

z

z

y

x

x

y

4 de 33

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad de Ingeniería
Curso-Taller de Resolución de ejercicios de Cálculo 3

Elaborado por: M. I. Fernando López Solís
Bernal Mota Hugo César

Expresando la región R en coordenadas cilíndricas tenemos:


F  ( r ,  , z ) / 0  r 



5

, o    2  r 2  z  5  2r 2  .
3



Cálculo del volumen del sólido:
V ( R)   dV   rd (r ,  , z )
R

F



5
3



0

5
3

5 2 r 2

0

0

2

r2

 


2

0

 2 

0

5
3

rdzd dr

(5r  3r 3 )d dr
(5r  3r 3 )dr

 5r
3r 
 2 

4 0
 2

25
 
6
2

4

5
3

5 de 33

UniversidadAutónoma del Estado de México
Facultad de Ingeniería
Curso-Taller de Resolución de ejercicios de Cálculo 3

Elaborado por: M. I. Fernando López Solís
Bernal Mota Hugo César

4.- Usando el teorema de la Divergencia, calcule el volumen del solido R del
problema anterior.
Solución:

V ( R)   dx   ( x, 0, 0)  ndA
R

S

S  S1  S 2 con :

Donde :

x  t cos u
S1 : y ...