Trasformaciones lineales

Transformaciones lineales
Tres notas sobre notación.
1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcionalf(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

NÚCLEO E IMAGEN.
Observemos que determinados vectores de V pueden tener como imagen el 0. Esto ocurre al menos con , pero también puede ocurrir con más vectores de V. W0V
Por ejemplo, en laaplicación el vector (0,0) tiene como imagen (0,0), pero lo mismo le ocurre a (1,1), y también a todos los vectores de la forma (λ, λ). 22(x,y)(x-y, x-y )fℜ→ℜ
5 Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Aplicaciones Lineales

Definición: Núcleo.
Se llama núcleo de f al conjunto de los vectores de V cuya imagen es 0W. Se denota por Ker(f) (del inglés kernel=núcleo). 0W}
Es decir, Ker(f) = {v∈V : f(v) =}0W}

El núcleo podrá ser solamente {0} , o podrá ser un subespacio mayor.

Ejemplos:

Hay que encontrar los vectores cuya imagen es (0,0), es decir, los (x,y,z) tales que
(x+y+2z, 3x+3y+6z) = (0,0) por tanto
x+y+2z =0
3x+3y+6z =0
(2α, 2β, –α–β) : α, β ∈ℜ
Estos son todos los vectores que forman el núcleo, es decir
Ker(f) = { (2α, 2β, –α–β) : α,β ∈ℜ }
De esta expresión paramétricapodemos obtener una base de Ker(f): { (2,0,–1), (0,2,–1) }
Por tanto la dimensión del núcleo es 2.
Observemos que se verifica la fórmula: 1 + 2 = 3.
2) Calcular el núcleo y la imagen de la aplicación lineal ℜ 22(x,y)(2x-3y, -x-y )f→ℜ
Núcleo: Hay que encontrar los vectores cuya imagen es (0,0), es decir, los (x,y) tales que
(2x+3y, –x–y) = (0,0) por tanto
2x+3y=0
–x–y = 0
Por elloel único vector en Ker(f) es (0,0).

Definición: Matriz de una aplicación en bases cualesquiera.
Sea f: ℜ una aplicación lineal, y consideremos en el espacio inicial una cierta base B, y en el espacio final otra base B’. nℜ→mnℜ
Entonces se define la matriz de f en bases B y B’ como la matriz M que contiene en sus columnas las imágenes de los vectores de la base B, expresadas en coordenadasrespecto de B’.
Ejemplo.
Sea la aplicación 23(x,y)(x+y, x-y, 0)fℜ→ℜ
y consideremos las bases siguientes:
- En el espacio inicial la base B = { (1,1), (1,–1) } 2ℜ
- En el espacio final la base B’ = { (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) } 3ℜ
Calculemos la matriz de f en bases B y B’. Para ello hallamos las imágenes de la base B:
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Aplicaciones Lineales 13
f(1,1) = (2,0,0)f(1,–1) = (0,2,0)
Estas imágenes, (2,0,0) y (0,2,0), en el espacio final ℜ han de expresarse en coordenadas respecto de la base B’. Esto puede hacerse planteando sistemas o bien utilizando la matriz de cambio de base (ver Tema Espacios Vectoriales). Por ejemplo mediante sistemas: 3
(2,0,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) ⇒ α=1, β=1, γ=–1, es decir, (1,1,–1) son las coordenadas de (2,0,0) enbase B’ y por tanto 111−
 
 

es la primera columna de la matriz M.
(0,2,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) ⇒ α=1, β=–1, γ=1, es decir, (1,–1,1) son las coordenadas de (2,0,0) en base B’ y por tanto 111−
 
  es la segunda columna de la matriz M.
Así tenemos M = 1 1 1-1-1 1
 
 , la matriz de f en bases B y B’.
Propiedades.
1) La matriz de f: ℜ en basescualesquiera es de tamaño m x n, al igual que la matriz estándar. nℜ→m
2) El rango de la aplicación f ( = dimensión del subespacio imagen) también puede calcularse mediante el rango de M, siendo M la matriz en bases cualesquiera.
4) La matriz M en bases B y B’ puede utilizarse para calcular imágenes de vectores, cuando trabajamos con coordenadas en base B en el espacio inicial y con...