Tri ngulo

Triángulo
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Un triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.



Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.
Los ángulos de un triángulo se escriben igualque los vértices.
Propiedades del triángulo
1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que sudiferencia.
a < b + c
a > b - c


2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C =180º


3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C


4En un triángulo a mayorlado se opone mayor ángulo.


5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.


Tipos de triángulos según sus lados
Triángulo equilátero

Tres lados iguales.
 
Triángulo isósceles

Dos lados iguales.
 
Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.


 
Tipos de triángulos según sus ángulos
Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos
 
Triángulo rectángulo

Un ángulorecto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.
 
Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.
 
Triángulos iguales
1Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
2Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido.
3Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.


Perímetro del trianguloEl perímetro del triangulo es igual a la suma de las longitudes de sus tres lados.


Perímetro del triangulo equilátero


Perímetro del triangulo isósceles


Perímetro del triangulo escaleno




Área de un triángulo
El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.
La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).




Área de untriángulo equilátero





Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.



Semiperímetro
El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.
Se nombra con la letra p.

Fórmula de Herón
La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.Circunferencia circunscrita a un triángulo


R = radio de la circunferencia circunscrita


Circunferencia inscrita en un triángulo


r = radio de la circunferencia inscrita
p = semiperímetro



Conociendo dos lados y el ángulo que forman




Área de un triángulo conociendo las coordenadas de los vértices


El área de un triángulo es igual al la mitad del producto escalar, en valor absoluto, del vectorperpendicular a  por el vector .





Área de un triángulo por determinantes

Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la regla de Sarrus.
El determinante está en valor absoluto



Catetos
Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Los catetos son los lados menores del triángulo rectángulo.
La hipotenusa es lado mayor del triángulo rectángulo.Teorema del cateto
En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y suproyección sobre ella.
a  hipotenusa
b y c  catetos
m  proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n  proyección del cateto c sobre la hipotenusa






Ejemplos
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.




Lahipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.







Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejemplos
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro...