Trigonometria

CAPÍTULO

5



Resolución de Triángulos Rectángulos




En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto
grado de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre laslongitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la
relación pitagórica.

5.1 Triángulos rectángulos

Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.


Ca : hipotenusa del triángulo rectángulo
∆
BAC a
b : cateto
c : cateto

A c B

El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado
perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. En sus papiros se
observa que después delas inundaciones del
Nilo y construyendo triángulos rectángulos con cuerdas, fijando los límites de las parcelas, trazaban direcciones perpendiculares.




5.2.3 Teorema de Pitágoras
C

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de loscatetos. Es decir: a
a 2 = b 2
b
+ c 2
A esta relación se le llama relación pitagórica.


A c B
5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras
∆ ∆
Si en un triángulo
ABC se cumple
a 2 = b 2 + c 2
, entonces
ABC es rectángulo y el ángulo
recto es el ángulo cuyo vértice es A .

Nota: Si tres números, a, b y cverifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces, podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.

Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los hindúes cumplen con la relación pitagórica.

5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Solución
Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras
tenemos a 2 = 12 2 + 5 2 = 169
⇒ a =
169 = 13
por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm

Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos:
β = 30o . Calcular : f y α
e = 9cm ,
g = 4.5cm y

Solución Fα
Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:
e
e2 = f2 + g2 g
al reemplazar por los datos, tenemos:
g2 = f2 + 4.52 ⇒ f2 = g2 – 4.52 = 60.75 f β
⇒ f =
E G
60.75 ≅ 7.8

Por lo tanto: f ≅ 7.8 cm

Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios(¿Porqué?), por lo tanto:
α = 90 o − 30 o = 60 o
∆
Ejemplo 3: Dado el ABC tal que:

a) a = 10cm , b = 8 cm
y c = 6 cm
b) a = 9 cm , b = 11cm y c = 5 cm
Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo.

Solución

Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras
Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusadebería ser a y lo otros dos los
catetos, en consecuencia debería cumplirse:
a 2 = b 2 + c 2
(1) a 2 = 100
(2) b 2 + c 2 = 8 2 + 6 2 = 100

Por (1) y (2), se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos el rectángulo en A.
∆
ABC es
Para los datos dados en b), si es rectángulo, la...