Unidad 3 Y 4 Metodos Numericos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MINATITLAN.


METODOS NUMERICOS

FRANCISCO ALOR MATEO
07230459

EXAMEN ESPECIAL UNIDAD TRES Y CUATRO




INATITLAN, VER. A 09 DE MAYO DEL 2012.

UNIDAD 3 |
METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES |
Objetivo: Implementara los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, con apoyo de un lenguaje de programación. |

3.1. METODOSINTERIATIVOS.
3.1.1.-Método de Jacobi
 
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solucióndel sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:
A= D + L + U
Donde:
D, es una matriz diagonal.
L, es una matriz triangular inferior.
U, es una matriz triangular superior
Partiendo deAX=b podemos rescribir dicha ecuación como:
Dx + (L+U)x=b
Luego:

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

donde k es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el métodoGauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.
El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamentediagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface. Es necesario, sin embargo, que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos.

El método de Jacobi se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:

Ejemplo 1
  Aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, con 5 iteraciones y determinala cantidad de cifras significativas exactas de la quinta iteración. Utiliza como iteración inicial

Solución
Primeramente notamos que la matriz de coeficientes del sistema sí es diagonalmente dominante. Por lo tanto, podemos emplear la fórmula recursiva del método de Jacobi, obteniendo:

Para la primera iteración consideraremos de donde

Para la segunda iteración utilizamos los valores dela primera iteración:

Similarmente para las otras tres iteraciones resulta la tabla de aproximaciones:

Los errores relativos para cada variable son:

De esta forma se puede asegurar que la aproximación para , y en la quinta iteración sólo tienen dos cifras significativas exactas.
Ejemplo 2
10X1 + 1X2 = 11
2X1 + 10X2 = 12
Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2
1Iteración
2 Iteración
3 Iteración
Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.
10X1 + 1X2 = 11
10(1)+1 (1) = 11
11 = 11

3.1.2.- Método de Gauss-Seidel
 El método de Gauss-Seidel es el método iterativo mas comúnmente usado. Supongamos que se da un sistema de n ecuaciones.
[A] [X] = {B}
Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 3 X 3. Si los elementos de la diagonal no sontodos cero, la primera ecuación se puede resolver para X 1, la segunda para X2 y la tercera para X3, para obtener:

Ahora se puede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para las x. una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son cero. Estos ceros se sustituyen en la primera ecuación, la cual se utiliza para calcular un nuevo valor X1 = b1...