UNIDAD 4 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Instituto Tecnológico de Gustavo A. Madero II
ALUMNO:Garcia Reyes Edgar Alfredo
MATERIA:Calculo Vectorial
CARRERA:Ing. Industrial
PROFESOR:Ing. Ulises Valdez
Trabajo:Unidad 4 y 5
U
NIDAD 4 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
Introduccion
4.1 Definición de función de varias variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que seescribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se puedenrepresentar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
4.2 Gráfica de una función de varias variables
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. Enotras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como montrado en la siguiente figura.

La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz. (Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del planoxz. (Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)
La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy. (Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

Ejemplos
La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio tridimensional.

La gráfica de f(x, y) = x2 - y2 se muestra en la siguiente figura.Hay muchos más ejemplos en el libro de texto. Si quiere experimentar a hacer gráficas de superficies en su computadora, pruebe el Graficador de superficies o, si se prefiere Excel, el Graficador Excel de superficies.
4.3 Curvas y superficies de nivel
Las curvas de nivel son aplicadas en el área de la Ingeniería para mostrar en el plano curvas isotermas, mapas topográficos de regionesmontañosas que identifican las curvas de altitud de contorno de una superficie o líneas equipotenciales, por mencionar algunas. En las curvas Isotermas la líneas continuas enlazan la misma temperatura en la zona. En los mapas topográficos, si se desplazara una persona a lo largo de una curva de nivel se mantendría a la misma altitud.
DEFINICIÓN Curva de nivel
El conjunto de puntos (x, y) en el planodonde una función de dos variables independientes tiene un valor constante f(x, y) = c, es una curva de nivel de f.
Ejemplo 1. Trazar algunas curvas de nivel de la función
para c = 4, c = 3, c = 0 y c = –5.
Solución
a) Para c = 4; (1)
la expresión (1) representa un punto cuando f(x,y) = c = 4
b) Para c = 3; (2)
la expresión (2) representa unacircunferencia de radio r =.
c) Para c = 0; (3)
la expresión (3) representa una circunferencia de radio r = 2
d) Para c = –5; (4)
la expresión (4) representa una circunferencia de radio r = 3
La superficie es un paraboloide abierto hacia abajo, su extremo máximo está en z = 4 y las curvas de nivel de la función son círculos. Tal como se ilustra a continuación en las figuras 1, 2 y3.
297180091440Fig 2 Mapa de contorno
00Fig 2 Mapa de contorno
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Fig 1. Las trazas horizontales son curvas de nivel
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Fig 1. Las trazas horizontales son curvas de nivel







Fig 3 Mapa de contorno con los valores dados de c
SUPERFICIES DE NIVEL
Si f (x,y,z) es una función de tres variables y k una constante que debe satisfacer los valores del rango de la...