Uso De La Transformada De Fourier

INFORME DE LABORATORIO N°2

USO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

OBJETIVOS

* Obtener la representación en el dominio de la frecuencia

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
La transformada de Fourier X(w) de una señal en tiempo discreto x[n] se calcula mediante la expresión

Xω=n→-∞∞xn.e-jωn

y su inversa es,
xn=12π-ππXω.ejωndω

La DTFT X(w) toma valores complejos y es una funcióncontinua y periódica en w. El periodo es 2π, representándose normalmente en el intervalo [ -π, π]. Al evaluar numéricamente la DTFT se presentan dos problemas:
a) La secuencia x[n] puede tener un numero infinito de puntos
b) X(w) es una función continua de la frecuencia w y debe ser discretizada para trabajar en un procesadordigital.
Para resolver el primer problema consideraremos que la secuencia de entrada esta formada por un vector de L puntos siendo 0 para los valores comprendidos entre L+ 1 e infinito.
Para el segundo, consideraremos que X(w) se evalúa en un numero N finito de frecuencias equidistantes en el intervalo [-π, π] con incrementos de 2 π /N, es decir se consideran el conjunto discreto de frecuencias wk =2 π k/N con k=0,1,...N-1. Si se elige N lo suficientemente grande los valores X[2 π k/N] se aproximan a la función X(w)

Al muestrear la DTFT de esta manera se obtiene la expresion correspondiente a la trasformada discreta de Fourier DFT que en MATLAB se implementa mediante el algoritmo conocido como FFT (Fast Fourier Transform).

Para evitar problemas de muestreo insuficiente se debe elegirN tal que N>L.

Para implementar la dtft usaremos el archivo dtft.m que se lista (si es necesario use help para averiguar como funcionan las siguientes líneas)

Function [H,W]=dtft(x,N)
% uso: [H W]=dtft(x,N)
% x: muestra de longitud L, se supone que de L+1 a infinito la muestra toma valor 0.
% N: número de frecuencias a evaluar. N debe ser mayor que L.
% H: valores complejos de la DTFT
%W: vector de frecuencias correspondiente a la los valores H calculados
N=fix(N); % aproxima a entero redondeando al entero inferior
L=length(x);
if(L>N)
error(' DTFT: numero de muestras, L, debe ser inferior al numero de frec a calcular N')
end

% wk=2*pi*k/N con k=0,1,2, ... ,N-1
W=2*pi/N*(0:N-1);

medio=ceil(N/2)+1 % aproxima a entero redondeando al entero inferior

% evaluamosla DTFT de -pi a pi

W(medio:N)=W(medio:N)-2*pi;
W=fftshift(W);
H=fftshift(fft(x,N));
En la función anterior se realizó un desplazamiento (fftshift) en frecuencias con objeto de que los resultados de w se den en el intervalo [ -,].

Algoritmo FFT para calcular la Transformada Discreta de Fourier
El algoritmo FFT es una manera eficiente de calcular la DFT. En MATLAB la función esX=fft(x,N)

* Calcula la FFT de N puntos del vector x.
* El resultado X es un vector de números complejos ordenados con índice k=0,1, ...N-1.
* Si no se da el segundo parametro se considera como N la longitud del vector. Para que el algoritmo sea eficiente N debe ser potencia de 2.
* Si la longitud de x es menor que N, el vector se rellena con ceros. Si es mayor el vector es truncado.x = ifft(X)
Calcula la transformada de Fourier inversa del vector X. También se puede especificar el número de puntos N con ifft(X,N)
X=fftshift(x)
Reordena el vector X en orden creciente de frecuencias de tal manera que la componente continua queda centrada.
SIMULACIÓN
Un uso comun de la transformada de Fourier transforms es encontrar las componentes frecuenciales de una señal señalruidosa en el dominio del tiempo. Considere el muestreo de la data a 1000 Hz. Forma una señal conteniendo un sinusoide de 50 Hz de amplitud 0.7 y un sinusoide de 120 Hz de amplitud 1 Y corrompido con algún ruido aleatorio de promedio cero.
Codigo en matlab
clear all; close all; clc
Fs = 1000; % Frecuencia de Muestreo
T = 1/Fs; % Tiempo de Muestra
L =...