Valor Absoluto

VALOR ABSOLUTO Y MAXIMO ENTERO

1. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real a, denotado por │a│, se define por la regla:
│a│= a , si a ≥ 0-a , si < 0

EJEMPLO:
* │x│=3 ; pues 3 > 0
* │-5│= --5 → 5 ;pues-5< 0
* │2-2│= -2-2 → 2-2

2. TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO

I. TEOREMA # 1:
i. ∀a∈R: │a│≥0
Demostracion: En efecto,consideremos: a<0 , a=0 , a>0
1) Si a<0 → │a│= -a → -│a│=a → -│a│<0 ↔ │a│>0
2) Si a=0 → │a│= a=0
3) Si a>0 → │a│=a → │a│>0 ∴ │a│>0

ii. ∀a∈R: │a│=0 ↔a=0
Demostraremos que si │a│=0 → a=0
En efecto, │a│=0 → 0=a → a=0

II. TEOREMA # 2:
i. ∀A ∈R: │a│2= a2
Demostracion. En efecto:
1) Por definicion de potencia: │a│2= │a││a│2) Si a≥0 → │a│2=a.a → │a│2= a2
3) Si a<0 → │a│2=-a-a → │a│2= a2

III. TEOREMA # 3:
i. ∀a∈R: │a│=a2
Demostracion. En efecto:
1) Por el teorema # 2: │a│2= a2
2) entences: │a│2= a2
3) ∴ │a│= a2

IV. TEOREMA # 4:
i. ∀a∈R: │a│= │-a│
Demostracion. Consideremos los casos:a>0, a=0, a<0
1) Si a>0 → │a│=0
Por -1: -a<0→ │-a│=--a=a ∴│a│=│-a│
2) Si a=0 → │a│=0
Por -1: -a=0 → │-a│=0 ∴ │a│= │-a│
3) Si a<0 → │a│=-a
Por -1: -a>0 → │-a│=-a ∴ │a│= │-a│

V. TEOREMA # 5:
i. ∀a∈R: │ab│= │a││b│
Demostracion. En efecto:
1) Por el teorema# 3: │ab│=ab2
2) Por propiedad de potencia: │ab│=a2b2
3) Entonces: │ab│=a2b2= │a││b│

VI. TEOREMA # 6:
i. ∀a,b∈R, b≠0, entonces:│ab│=│a││b│
Demostracion. En efecto:
1) Sea ab=c → │ab│= │c│
2) Entonces: a=bc → │a│=│bc│=│b││c│ → │a││b│=│c│
3) Luego, de del primero y segundo: │ab│=│a││b│

VII. TEOREMA # 7:
i. ∀a,b∈R: │a+b│≤│a│+│b│ desigualdad triangular
Demostracion. En efecto:
1) │a+b│2=(a+b)2=a2+2ab+b2 ( T # 2)
2) │a+b│2≤ a2+2│a││b│+b2 ab≤ ab
3) │a+b│2 ≤│a│2+2│a││b│+│b│2 (T2 yT5)
4) │a+b│2 ≤ a+b 2
5) Como │a+b│ y a+b son ambos positivos, entonces:
│a+b│≤ │a│+│b│

VIII. TEOREMA # 8:
i. ∀a,b∈R:│a-b│≤│a│+│b│
ii. ∀a,b∈R: │a│-│b│≤│a-b│
Demostracion.
1) │a-b│=│a+-b│ definicion de diferencia
2) Entonces:│a-b│≤│a│+│-b│ T7
3) Luego:│a-b│≤│a│+│b│

IX. TEOREMA # 9:
i. │a│=b↔ b≥0∧a=b ∨ a=-b
Demostracion. En efecto:1) Por el T1: │a│≥0, ∀a∈R
2) Entonces, si │a│=b, implica que: b≥0
3) Por definicion:│a│=a ∨ -│a│=a
4) Luego si:│a│=b → b=a ∨ b=-a → a=b∨ a=-b
5) Por tanto, de 2 y 4: │a│=b ↔ b≥0 ∧ a=b ∨ a=-b

X. TEOREMA # 10:
i. │a│=│b│ ↔ a=b ∨ a=-b
Demostracion. Consideremos los casos:b≥0 y b<0
1) Si b≥0 → │b│=b
Luego:│a│=│b│ ↔ │a│=b ↔ a=b ∨ a=-b
2)Si b<0 → │b│=-b>0
Luego:│a│=│b│ → │a│=-b ↔ a=-b ∨a=--b↔ a=-b ∨ a=b
3) Por lo tamto: │a│=│b│ ↔ a=b ∨ a=-b

XI. TEOREMA # 11:
i. Si b≥o y │a│≤b ↔ -b≤a≤b
Demostracion.
* Demostraremos que si b≥0 y │a│≤b → -b≤a≤b . En efecto:
1) ∀a∈R:a≤│a│, y por hipotesis:│a│≤b
2) Luego, por transitividad:a≤b
3) Del paso 1:-b≤-│a│
4) Ademas, ∀a∈R:-│a│≤a
5)Entonces de 3y 4: -b≤a transitividad
6) Finalmente de 2 y 5: -b≤a≤b

* Demostraremos ahora que si b≥0 y-b≤a≤b →│a│≤b. En efecto,considerandolos casos:a≥0 y a<0
1) Por definicion de V.A., si a≥0 y a <0
2) Por hipotesis:a≤b
3) Luego, de 1y 2: │a│≤b
4) Si a<0 → │a│=-a
5) Por hipotesis:-b≤a → -a≤b
6) Luego, de 4y 5:│a│≤b
Por lo tanto,de la primeray segunda demostracion queda demostrado:
Si b≥0 y │a│≤b ↔ -b≤a≤b
Colario:
Si b≥0 y │a│<b ↔ -b<a<b

XII. TEOREMA # 12:
i. Si │a│≥b ↔ a≥b ∨ a≤-b
Colario: Si │a│>b ↔ a>b ∨ a<-b

XIII. TEOREMA # 13:
i. ∀a,b∈R:│a│≤│b│ ↔ a2 ≤b2

 
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 4x - 1 =...