Valor inicial
Páginas: 2 (332 palabras)
Publicado: 6 de septiembre de 2010
Problema de valor inicial
1.- A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial (ED) de primer orden
dy/dx=f(x,y)
2.- Sujeta a la condición adicional y(x_(∩)=y_∩ ),donde x_∩ es un número en un intervalo 1 y y_∩ es un número real arbitrario. El problema
Sujeto a: dy/dx=f(x,y)
Resolver: y(x_0 )=y_0
Se llama el problema valor inicial. A lacondición adicional se le conoce como condición inicial. Hablando en términos geométricos, podría decirse que estamos buscando al menos una solución a la ecuación pase por el puntodado (x_(0,y_0 )) basada en la figura 2.1.
EJEMPLO:
Ay que verificar que cada una de las funciones y=0,y= x^4 ⋰16 satisfacen la ecuación diferencial y la condición inicialdel problema.
dy/dx=xy^(1/2), y(0)=0
Como se aprecia en la figura 2.3, las graficas de ambas funciones pasan por el mismo punto (0,0).
Antes de abordar un problemade valor inicial a menudo es desechable saber si existen una solución y, cuando existe, saber si es la única solución del problema.
TEOREMA: Existencia de una solución únicaSea R una región rectangular en el plano xy definida por a≤x≥b, c≤y≥d que contiene el punto (x_(0,y_0 ))en su interior. Si f(x,y) y ∂f/∂y son continuas en R, entonces existe unintervalo I con centro en x_0 y una única función y(x) definida I que satisface el problema de valor inicial.
En el anterior es uno de los teoremas de existencia y unicidad másconocidos para ecuaciones diferenciales de primer orden, por que los criterio de continuidad de f(x,y) y ∂f/∂y son relativamente fáciles de verificar. En general no siempre esposible encontrar un intervalo especifico I en el cual se define una solución sin, de hecho resolver la ecuación diferencial la geometría de teorema 2.1 se muestra en la figura 2.4
1.- A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial (ED) de primer orden
dy/dx=f(x,y)
2.- Sujeta a la condición adicional y(x_(∩)=y_∩ ),donde x_∩ es un número en un intervalo 1 y y_∩ es un número real arbitrario. El problema
Sujeto a: dy/dx=f(x,y)
Resolver: y(x_0 )=y_0
Se llama el problema valor inicial. A lacondición adicional se le conoce como condición inicial. Hablando en términos geométricos, podría decirse que estamos buscando al menos una solución a la ecuación pase por el puntodado (x_(0,y_0 )) basada en la figura 2.1.
EJEMPLO:
Ay que verificar que cada una de las funciones y=0,y= x^4 ⋰16 satisfacen la ecuación diferencial y la condición inicialdel problema.
dy/dx=xy^(1/2), y(0)=0
Como se aprecia en la figura 2.3, las graficas de ambas funciones pasan por el mismo punto (0,0).
Antes de abordar un problemade valor inicial a menudo es desechable saber si existen una solución y, cuando existe, saber si es la única solución del problema.
TEOREMA: Existencia de una solución únicaSea R una región rectangular en el plano xy definida por a≤x≥b, c≤y≥d que contiene el punto (x_(0,y_0 ))en su interior. Si f(x,y) y ∂f/∂y son continuas en R, entonces existe unintervalo I con centro en x_0 y una única función y(x) definida I que satisface el problema de valor inicial.
En el anterior es uno de los teoremas de existencia y unicidad másconocidos para ecuaciones diferenciales de primer orden, por que los criterio de continuidad de f(x,y) y ∂f/∂y son relativamente fáciles de verificar. En general no siempre esposible encontrar un intervalo especifico I en el cual se define una solución sin, de hecho resolver la ecuación diferencial la geometría de teorema 2.1 se muestra en la figura 2.4
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