varias variables

UNIVERSIDAD DE MURCIA

Departamento de Matem´aticas



Funciones vectoriales.
O´ ptica y Optometr´ıa
Resu´menes
Curso 2007-2008


En este resumen, escribiremos todo en el espacio eucl´ıdeo tridimensional R3 .
Una funci´on vectorial es una funci´on que transforma un nu´mero real en un vector:

F : R −→ R3 , definida como F (t) = (x(t), y(t), z(t)),

donde x(t), y(t) y z(t)son funciones reales de variable real.
As´ı, se dice que F es continua, derivable o integable, si lo son x(t), y(t) y z(t).; y adem´as su derivada y su integral se calculan del siguiente modo:


F 0 (t) = (x0 (t), y0 (t), z0 (t)) y
Z b
F (t)dt =
a
ÃZ b

a
Z b
x(t)dt,
a
Z b
y(t)dt,
a
!

z(t)dt .

Algunas reglas de derivacion de estas funciones relacionadas conlas operaciones entre vectores son las siguientes
(suponemos que F y G son dos funciones vectoriales, u es una funci´on real de variable real y λ ∈ R):

1. (F (t) + G(t))0 = F 0 (t) + G0 (t).

2. (λF (t))0 = λF 0 (t).

3. (u(t)F (t))0 = u0 (t)F (t) + u(t)F 0 (t).

4. (F (t)G˙ (t))0 = F 0 (t)G˙ (t) + F (t)G˙ 0 (t).
5. (F (t) × G(t))0 = F 0 (t) × G(t) + F (t) × G0 (t).
6. (F◦ u)0 (t) = (F (u(t)))0 = F 0 (u(t))u0 (t).

Se ve f´acilmente, que todas son “heredadas” de las reglas de derivaci´on de las funciones reales de variable real. Lo mismo ocurre con las integrales:
1. R b (F (t) + G(t))dt = R b F (t)dt + R b G(t)dt.
a a a
2. R b λF (t)dt = λ R b F (t)dt
a a

Curvas parametrizadas.

Cuando una funci´on vectorial definida en un intervaloabierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F (t) se le llama vector de posici´on de la curva y a los vectores F 0 (t) y F 00 (t) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleraci´on. De
modo que la velocidad en un instante t es kF 0 (t)k y la aceleraci´on es kF 00 (t)k. Al vector F 0(t) tambi´en se le
llama vector tangente a la curva F (t) en t, y el vector





recibe el nombre de vector tangente unitario.
T (t) = F 0 (t) ,
kF 0 (t)k

Longitud de un arco de curva.

La longitud de un arco (“trozo”) de curva entre dos punto F (a) y F (b) viene dada por la f´ormula


L(F, a, b) =
Z b
kF 0 (t)kdt =
a
b
px0 (t)2 + y0 (t)2 + z0 (t)2 dt.
aCurvatura.

Dada una curva regular F (t) se puede reparametrizar (una especie de cambio de variable), de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva est´a paramentrizada por la longitud del arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitarioSe define la curvatura como “la variaci´on del vector tangente con respecto a la longitud del arco
° dT °
κ = ° °
° ds °
La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Esta definici´on es bastante intuitiva, pero no esf´acil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como
° T 0 (t) °
κ =° °


o bien
° F 0 (t) °

κ = kF 0 (t) × F 00 (t)k kF 0 (t)k3

Si la curva est´a en el espacio, tambi´en se “retuerce” y para medir esto se define la torsi´on τ como

τ = det(F 0 (t), F 00 (t), F 000 (t))
kF 0 (t) × F 00 (t)k



Funciones de varias variables.

Una funci´on F : Rn −→ Rm de varias variables, asigna a un punto de Rn otro punto de Rm :

F (x1 , . . . , xn ) =(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))

donde (f1 , . . . , fm ) son funciones fi : Rn −→ R reales de variable vectorial. Fundamentalmente nos referiremos a funciones f : Rn −→ R reales de variable vectorial.

Derivada segu´n un vector. Derivadas parciales.
Si A ⊂ Rn es un abierto y f : A −→ R una funci´on, se llama derivada de f en el punto a ∈ Rn , segu´n el...