varios

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
"SANTIAGO MARIÑO"
SEDE BARCELONA
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL









Matemática IV
Primer trabajo














Profesor: Integrantes:

Humberto Quiaro Eukaris Lugo C.I: 17.977.201Yuruanny C.I:
Albelys C.I:
Guillermo C.I:














El número complejo

El ejemplo típico de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales es ó,ya que no existe ningún real x tal que su cuadrado sea un número negativo. De manera mas general, la ecuación: , con coeficientes a,b,c, no tiene solución real si  . Se hace, por tanto, necesario ampliar el conjunto de los números reales a un conjunto donde puedan resolverse situaciones como las anteriores, de manera que esté en correspondencia biunívoca con una parte de él. Dicho conjunto esllamado: Conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C .  

Formas de representar los números complejos

1. Forma binómica.
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:




















Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, sedenomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores y su suma es
 

 













Se define el módulo de un número complejocomo el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.
 
















Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de unnúmero en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.
 

Radicación de Números Complejos

La operación de radicación es inversa a la de potenciación
Para un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a lapotencia n, nos da el mismo complejo zn.
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.

Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:

Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'

Aunque estoparece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.

Raíz Cuadrada

Vamos a hallar :
Primero pasamos z=4+3i a formapolar:
z = 4+3i = 536.9º
La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:
Si k=0 --> z1=18.4º
Si k=1 --> z2=198.4º
Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas...