Vectores En El Espacio

Vectores en el espacio
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Vector en el espacio Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en unpunto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio del vector ������⃗ se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen. ������������������������ Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes

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Ejemplo: Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0),B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores y ,

hallar sus módulos

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

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Distanciaentre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que determinan dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(2, 3, −1).

Vector unitario Un vector unitario tiene de módulo la unidad. Normalizar un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para ello se divide cada componente del vectorpor su módulo.

Operaciones con vectores en el espacio
Suma de vectores Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos Dados ⃗ ������������= 2u + 3v − w. = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector

⃗ ������������ = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores������������ ���⃗(2,4,5) ������������ ������������ ���⃗(3,1,2) hallarel módulo del vector . ������������ − ������������ ���⃗ ���⃗

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Propiedades de la suma de vectores Asociativa +( + )=( + )+

Conmutativa + = +

Elemento neutro + =

Elemento opuesto + (− )=

Producto de un número real por un vector De igual dirección que el vector ������������ ���⃗.

El producto de un número real k ∈ ℝpor un vector ������������ es otro vector: ���⃗ Del mismosentido que el vector ������������ si k es positivo. ���⃗ De sentido contrario del vector ������������ si k es negativo. ���⃗ De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector Asociativa k · (k' · ������������ = (k · k') · ������������ ���⃗) ���⃗

Distributiva respecto a la suma devectores k · (������������ ������������ = k · ������������ k · ������������ ���⃗+ ���⃗) ���⃗+ ���⃗

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Distributiva respecto a los escalares (k + k') ·������������ = k · ������������ k' · ���⃗ ���⃗ ���⃗+ ������������ Elemento neutro 1 · ������������ ���⃗ ���⃗= ������������

Dado ������������ (6, 2, 0) determinar ������������ de modo que sea 3������������ = ������������ ���⃗= ���⃗ ���⃗ ���⃗.Ejemplo

Dependencia e independencia lineal. Bases
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados previamente por escalares.

Ejemplo:

Cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de un conjunto de vectores que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

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Vectoreslinealmente dependientes Un conjunto de vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, con la condición de que alguno de los coeficientes de la combinación lineal distinto de cero.

Propiedades 1. Si un conjunto de vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como...