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Ejercicios. Determinantes. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II.

Miguel A. Hernández Lorenzo

EJERCICIOS DETERMINANTES.
1º/ Calcula el siguiente determinante:

∣

∣

3 7 −1
−2 0 1
1 3 −6

a) Usando la Regla de Sarrus.
b) Desarrollando por los elementos de la primera columna.
2º/ Obtén el valor del determinante de la matriz:



1 −2 1 −1
−2 2 −1 2
A=
2 −3 1 −2
3 −2 1 −2

3º/ Calcula el rango de las matrices:



1 3 −1
A= −1 1 −3
2 4 0

a)








b)

d)



2
1 3
c) C=
−4 −2 0

3
1
0
2
B= −6 −2 3 −1
12 4 −3 5
1 −4 0
D= −2 8
3
3
1 −2





4º/ ¿Para qué valor de m el rango de esta matriz es 2?



1 4 6
4 m 6
−5 3 −7


 

1 2 3
A= 1 3 3
2 5 a
según los valores del parámetro a.
5º/ Seconsidera la matriz

, siendo a un parámetro real. Calcular el rango de A

6º/ Obtén el valor de a para que el rango de la matriz A sea igual a 2.



1 −2 3 0
A= 2 3 0 −1
4 −1 6 a



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Miguel A. Hernández Lorenzo

7º/ Dadas las matrices:



0 −1 0
A= 1 0 −1
1 1
0







1
0 1
B= 0 −1 1
−1 3 0

X =A−1 Bt  , donde

determinar la matriz
traspuesta de B.

A

−1

es la matriz inversa de A y

t
B es la matriz

8º/ Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa.

 

3 2 1
M= a 5 0
1 2 3

9º/ Sea la matriz:



1 0 −1
A= 0 m −6
1 1 −m



a) Determine para qué valores del parámetro m existe
b) Calcule

A−1 .

A−1 para m=2.

10º/Dada la matriz:



1
1
m
A= m
0 −1
−6 −1 0



a) Halla los valores de m para los cuales tiene inversa.
b) Haciendo m=2, encontrar la matriz X que cumple:
11º/ Resolver la ecuación matricial



−1 0 1
A= 2 1 0
−1 2 3



XA= 1 0 −1 

ABX =I donde:



1 2 0
B= 1 0 −1
−1 3 2



e I es la matriz identidad de orden tres.

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Miguel A. Hernández Lorenzo

SOLUCIONES:
1º/ Calcula el siguiente determinante:

∣

∣

3 7 −1
−2 0 1
1 3 −6

a) Usando la Regla de Sarrus.
b) Desarrollando por los elementos de la primera columna.

∣

∣

3 7 −1
−2 0 1 =76−84−9=−80
1 3 −6

a)

b)

∣

∣

3 7 −1
0 1 −−2· 7 −1 1 · 7 −1 =3 ·−32· −4231 ·7=−9−787=−80
−2 0 1=3 ·
3 −6
3 −6
0 1
1 3 −6

∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣

2º/ Obtén el valor del determinante de la matriz:



1 −2 1 −1
A= −2 2 −1 2
2 −3 1 −2
3 −2 1 −2



Lo podemos hacer haciendo ceros, por ejemplo en la primera columna:

∣

∣∣

∣∣

∣

∣∣

∣∣

1 −2 1 −1 1 −2 1 −1
−2 1 0
−2 2 −1 2
0 −2 1
0
=
=1 · 1 −1 0 =2−1=1
2 −3 1 −2 0 1 −1 0
4 −2 1
3 −2 1 −2 0 4 −2 1
F 2  F 2F 1
F 3  F 3−2F1
F 4  F 4 −3F1
Lo podemos hacer desarrollando el determinante por adjuntos, por ejemplo por la primera fila:

∣

1 −2 1 −1
2 −1 2
−2 −1 2
−2 2
2
−2 2 −1
−2 2 −1 2 =1·
−3 1 −2 2 · 2
1 −2 1 · 2 −3 −2 1 · 2 −3 1
2 −3 1 −2
−2 1 −2
3
1 −2
3 −2 −2
3 −2 1
3 −2 1 −2
(desarrollamos los determinantes y seguimos, nos tiene que dar 1)

∣∣

∣∣

∣

Ejercicios.Determinantes. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II.

Miguel A. Hernández Lorenzo

3º/ Calcula el rango de las matrices:





3
1
0
2
b) B= −6 −2 3 −1
12 4 −3 5

2
1 3
−4 −2 0





d)





1 3 −1
A= −1 1 −3
2 4 0

a)

c) C=




1 −4 0
D= −2 8
3
3
1 −2





1 3 −1
A= −1 1 −3
∣ A∣=−184212=0 , luego no tenemos ningún menor de orden
a)2 4 0
3 distinto de cero, pero si hay menores de orden 2 distinto de cero, por ejemplo el formado por las
1 3 =13=4 ⇒r  A=2
dos primeras filas y columnas:
.
−1 1

∣ ∣









3
1
0
2
3 1 0
2
3 1 0 2
B= −6 −2 3 −1  0 0 3
3  0 0 3 3 ⇒ r  B=2
12 4 −3 5
0 0 −3 −3
0 0 0 0
F 2  F 22F1
F 3  F 3F 2
F 3  F 3 F 1

b)











2...