M Todo De Gauss Seidel

Instituto Tecnológico de Costa Rica

CM 3201 Métodos Numéricos

Método de Gauss-Seidel

Ing. Marvin Hernández

II Semestre 2008

ÍNDICE
 Introducción
 Descripción
 Errores
 Ejemplo

1
 Ejemplo 2
 Ejemplo 3
 Ejemplo 4
 Bibliografía

del Criterio de Convergencia

Introducción


Este método se basa en la aproximación
iterativa propuesta por Seidel en 1874 en la
Academia de Ciencias deMunich, para la
aplicación al problema del flujo de potencia.

La ecuación anterior es el corazón del algoritmo
iterativo. La iteración comienza con una
estimación de las magnitudes y ángulos de todas
las barras del sistema, y se van recalculando las
tensiones
utilizando
los
mejores
valores
disponibles. Esto es, para calcular la tensión Vk
se utilizan los V1...k-1 ya actualizados, y los Vk...n
delpaso anterior. El método tiene una
convergencia extremadamente lenta pero segura
(excepto para problemas mal condicionados, o sin
convergencia posible).



El método de Gauss-Seidel pertenece a la
familia de los métodos iterativos utilizados
para obtener la o las raíces de una función
cualquiera, especialmente en forma de
matrices de n ecuaciones [A]{X}={B}



Si los elementos de la diagonalde la matriz que se está solucionando no son todos cero la 1era se resuelve para x 1,
la 2da para x2 y la tercera para x3, y la enésima para xn para obtener:

X1= ( b1 – a12x2 – a13x3 ) / a11
X2 = ( b2 – a21x1 – a23x3 ) / a22
X3 = ( b3 – a31x1 – a32x2 ) / a33
.
.
.
Xn = ( bn – an1x1 - …- ann-1xn-1 ) / ann

Teorema


Considerar un sistema de n ecuaciones con n
incógnitas, es decir, se tiene unamatriz de
coeficientes A  cuadrada. Si el valor absoluto
del elemento de la diagonal de cada renglón
de A es más grande que la suma de los
valores absolutos de los otros elementos de
tal renglón entonces el sistema tiene una
solución única. El método iterativo de GaussSeidel convergerá a la solución sin importar
los valores iniciales.



Así es como empieza el proceso iterativo
suponiendo que losvalores iniciales de x
son cero. Luego al obtener el primer x1
se evalúa en (2) junto con el valor previo
de x3 y de igual forma se procede en (3)
con el x2 calculado y el x1 previo, para
finalmente volver a (1) bajo la misma
fórmula, haciendo converger el sistema.

<< ÍNDICE

Criterio de Convergencia
Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven
con el método deGauss-Seidel sino también para el método iterativo del
punto fijo y el método de Jacobi . Por tanto, al aplicar este criterio sobre
las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de
las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:

a 21
1
a 22

a12
1
a11

El valor absoluto de las pendientes en la ecuación, debe ser menor que la
unidad para asegurar la convergencia.

a11  a12

a22  a 21

Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la
diagonal para cada reglón de ecuaciones. La generalización del criterio
anterior para un sistema de n ecuaciones es:
n

aii   ai , j
j 1
j i

Ejemplos de convergencia
Iteraciones utilizando las siguientes ecuaciones sin
ordenar

u : 11x1  13 x2 286
v : 11x1  9 x2 99

Divergencia Seidel
70
60
50
40
3020

X2

Divergencia Seidel
X1
X2
0.00
0.00
26.00
0.00
26.00
20.78
1.44
20.78
1.44
-9.23
36.91
-9.23
36.91
34.12
-14.32
34.12
-14.32
-28.50
59.68
-28.50
59.68
61.95
-47.21
61.95
-47.21
-68.70
107.19
-68.70
107.19
120.01
-115.83 120.01
-115.83 -152.57

10
0
-20

-10

-10

0

10

20

30

-20
-30
-40

X1

40

50

60

70

Ejemplos de convergencia
Iteraciones utilizando previamente el criterio dediagonal dominante

v : 11x1  9 x2 99
u : 11x1  13 x2 286
Convergencia Seidel
16
14
12

X2

10
8
6
4
2
0
0

5

10

X1

15

20

25

En Resumen
El método de Gauss-Seidel está basado en el concepto
de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver
sistemas de ecuaciones lineales.
Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que
el sistema tenga una diagonal dominante, es decir...