M Todo De Newton Para 2 Ecuaciones

Método de Newton para 2 ecuaciones.
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en  ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba lasaproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.
Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajodel matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.
El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicadohasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció posteriormente.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raízbuscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan,lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Sea f: [a, b] -> R funciónderivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n.
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntosde iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto esequivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (,  ()) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la raíz, , se logra de la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:


Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se muestra en azul y lalínea de la tangente en rojo). Vemos que  es una aproximación mejor que  para la raíz  de la función .
En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que  es una mejor aproximación que  para el cero (x) de la función f.
Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto :

Si se trunca el desarrollo a partir...