Practica 2: Metodos numericos para problemas de valor inicial

Pr´ctica 2: M´todos num´ricos para problemas de valor
a
e
e
inicial

1.

Objetivos
Resolver num´ricamente PVI para EDOs utilizando el m´todo de Euler. Repree
e
sentar gr´ficamente los resultados obtenidos.
a
Resolver num´ricamente PVI para EDOs utilizando m´todos Runge-Kuta.
e
e
Representar gr´ficamente los resultados obtenidos.
a
Comprobar mediante ejemplos, que los resultadosobtenidos por el m´todo de
e
Euler se pueden mejorar al considerar otros m´todos Runge Kuta.
e

2.

El m´todo de Euler
e

Son pocas las EDOs que se pueden resolver anal´
ıticamente. Por ello, en numerosas
ocasiones, surge la necesidad de desarrollar m´todos num´ricos para obtener una
e
e
aproximaci´n fiable de la soluci´n del problema de valor inicial
o
o
y ′ = f (x, y),
y(x0 ) =y0 ,

(1)

para el que se verifican las hip´tesis de existencia y unicidad de soluci´n en un
o
o
entorno I de x0 .
El m´todo de Euler es uno de los m´todos num´ricos m´s sencillos para obtener
e
e
e
a
un valor aproximado de la soluci´n de (1) en un punto x0 + T , T > 0, contenido en
o
I.
En primer lugar, vamos a establecer una red de puntos en el intervalo [x0 , x0 +T ],
x0 < x1 < ·· · < xN = x0 + T , que supondremos uniforme, de manera que
T
= h = xn+1 − xn ,
N

n = 0, 1, . . . , N − 1.

Diremos que h es el paso de integraci´n.
o

1

Si consideramos el polinomio de Taylor centrado en xn de la soluci´n y(x) de (1)
o
tenemos
y(xn+1 ) = y(xn + h) ≈ y(xn ) + hy ′ (xn ) = y(xn ) + hf (xn , y(xn )),
es decir, a partir de y(xn ) (el valor de la soluci´n de (1) enxn ) podemos aproxio
mar y(xn+1 ) (el valor de la soluci´n de (1) en xn+1 = xn + h) mediante y(xn ) +
o
hf (xn , y(xn )). El m´todo de Euler consiste en definir el siguiente esquema num´rico
e
e
y1 = y0 + hf (x0 , y0 ),
y2 = y1 + hf (x1 , y1 ),
.
.
.
yN = yN −1 + hf (xN −1 , yN −1 ),
donde obviamente y0 := y(x0 ) y los valores yk representan aproximaciones de y(xk ),
para todo k = 1,. . . , N . En particular, yN ≈ y(x0 + T ).
El m´todo de Euler es un caso particular de m´todo de un paso. Los m´todos
e
e
e
de un paso permiten obtener una aproximaci´n de la soluci´n en xn+1 = xn + h, a
o
o
partir de (xn , yn ) y de h. Se suelen representar en la forma
yn+1 = yn + hΦ(xn , yn ; h).

(2)

La funci´n Φ depende de la ecuaci´n diferencial del PVI considerado y se dicefunci´n
o
o
o
incremento. Para el m´todo de Euler Φ(xn , yn , h) = f (xn , yn ).
e
Definici´n 1 Se dice error global del m´todo (2) en xn , para n = 0, . . . , N a
o
e
en = y(xn ) − yn ,
donde y(xn ) es el valor de la soluci´n exacta en xn e yn , el valor aproximado obtenido
o
con el m´todo. El m´todo (2) se dice convergente si para todo PVI (1) se verifica
e
e
l´ m´x |en | = 0.
ım
ah→0 0≤n≤N

Definici´n 2 El m´todo (2) se dice convergente de orden p si, para todo PVI (1)
o
e
p , existe una constante C > 0 tal que
con f ∈ C
m´x |en | ≤ Chp .
a

0≤n≤N

El m´todo de Euler es convergente de orden 1. Por lo tanto, tomando particiones
e
cada vez m´s finas del intervalo I, o lo que es lo mismo haciendo que h → 0, tenemos
a
que m´x1≤n≤N |en | ≤ Ch → 0 y esto implicaque las poligonales que obtenemos
a
uniendo las aproximaciones yn por segmentos se parecen cada vez m´s a la gr´fica
a
a
de la soluci´n y(x) de (1).
o
2

Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Utilizando el m´todo de Euler con paso de integraci´n h = 1/20, vamos
e
o
a obtener un valor aproximado de la soluci´n
o
y ′ = x − y,
y(0) = 1,
en x = 1, es decir, un valor aproximado de y(1).Adem´s, calcularemos su solua
ci´n exacta y la compararemos gr´ficamente con la soluci´n num´rica obtenida con
o
a
o
e
el m´todo de Euler. Por ultimo, determinaremos los errores cometidos y los repree
´
sentaremos en una gr´fica.
a
Datos del problema: x0 = 0, y0 = 1, h = 1/20, f (x, y) = x − y.
(%i1)

x[0]:0; y[0]:1.0; h:1/20;
define(f(x,y),x-y);

Implementaci´n del m´todo de...