Álgebra de polinomios

Álgebra de polinomios
 
 
            Una vez que hemos estudiado los monomios, aprenderemos el  álgebra de polinomios.
            Un polinomio es la suma indicada de un número finito de monomios de distinto grado.
            Cada uno de los monomios que integran un polinomio se llama término.
            Estudiaremos los polinomio con una indeterminada, que constan de monomios de unasola indeterminada (y la misma en todos). Además todos los coeficientes del polinomio (que son los coeficientes de los monomios que lo forman) serán números reales (enteros, fraccionarios o irracionales). Un polinomio de este tipo se llama polinomio con una indeterminada, sobre R. R es el conjunto de los números reales.
            Ejemplos:
 
P(x) = 3x4 -7x3 + 5x2 + x – 1
 
Q(z) = -z5 + 2z3 -z2 + 7
 
Son dos ejemplos de polinomios. El primero es el polinomios P de indeterminada x, que se representa por P(x) (se lee “p de x”). El segundo es el polinomio Q de indeterminada z, que se representa por Q(z) (se lee “Q de z”).
            Grado de un polinomio es el de su monomio de mayor grado. Así, el grado de P(x) es 4 porque, de todos los monomios que lo forman, el monomio de mayorgrado es 3x4, de grado 4. Por la  misma razón, el grado de Q(z) es 5.
            Los polinomios se escriben ordenados. polinomio ordenado es el que lo está según los grados de sus monomios. Normalmente se escriben en el orden decreciente de los grados.
            En los ejemplos anteriores P(x) está ordenado por los grados de sus monomios desde el de grado 4 (el monomio 3x4), hasta el de grado 0(el monomio –1 que, en realidad es –1x0, pero que teniendo en cuenta que x0 = 1, se escribe abreviadamente –1).
            Un polinomio completo de grado n es el formado por n+1 monomios, desde el de grado n hasta el de grado 0.
            El anterior polinomio P(x) es completo, pero Q(z) no lo es (le faltan los monomios de grado 4 y de grado 1.
            Un polinomio, en general, serepresenta por la expresión algebraica:
 
 
P(x) = axn + bx3 + cx2 + … + px + q
 
Donde los números  a, b, c, …, p, q son los coeficientes del polinomio
x es la indeterminada (la misma para todos los monomios), y
n es el grado del polinomio (el mayor de los grados de sus monomios).
Los puntos suspensivos indican otros monomios que no se escriben.
Valor numérico de un polinomio P(x) para x = a,es el número que resulta al sustituir x por el número a, y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico de P(x) para x = a se representa P(a).
Ejemplo:
Hallar el valor numérico de
 
P(x) = x3 - 2x2 + x – 1
Para x = 2.
 
P(2) = 23 – 2·22 + 2 – 1 = 8 – 8 + 2 –1 = 1
 
P(2) = 1
 
1. Suma de polinomios.
Es otro polinomio que resulta al sumar los coeficientes de los monomiosde igual grado.
Ejemplo:
 
Hallar la suma P(x) + Q(x), para los  polinomios
 
P(x) = x3 - 2x2 + 8x – 6
 
Q(x) = 3x4 -7x3 + 5x2 + x – 1
 
Se colocan los polinomios uno debajo de otro, con los monomios del mismo grado en columna, dejando un espacio cuando falte alguno de sus monomios. Y se suman los monomios semejantes (los de igual grado).
 
     
 
Si hay que sumar más de dospolinomios, se colocan unos debajo de otros de forma análoga, con los monomios del mismo grado en la misma columna.
 
 
2. Resta de polinomios.
Es otro polinomio que resulta de sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Para restar dos polinomios le sumamos al primero el opuesto del segundo. El polinomio opuesto es el que resulta de sustituir en sus monomios, cada coeficiente por suopuesto. Por ejemplo, si un monomio es
 
5x2 su opuesto es -5x2 por que son opuestos sus coeficientes, 5 y –5.
 
Ejemplos de resta de polinomios:
 

 
 
Como se ve en este ejemplo, para restar dos polinomios basta con cambiar todos los signos al sustraendo, y sumar.
 
3. Multiplicación de polinomios.
Se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo, colocando...