Álgebra lineal - espacios vectoriales

CAP´ ıTULO 3

Espacios vectoriales
1. Definici´n y ejemplos de espacio vectorial o

En el cap´ ıtulo 1, a partir de un cuerpo K y dos enteros positivos m y n, hemos definido el conjunto Mm×n (K) de las matrices con m filas, n columnas y t´rminos en K. Asimismo, a partir de e las operaciones + y · del cuerpo K, hemos definido la suma de matrices y el producto de un escalar por una matriz, y hemoscomprobado que cumplen una serie de propiedades entre las que nos interesa ahora se˜alar las siguientes: n La suma de matrices constituye una operaci´n binaria interna en Mm×n (K) que cumple la o propiedad conmutativa, la asociativa, para la que existe elemento neutro y para la que todo elemento tiene opuesto, es decir, la suma constituye una aplicaci´n del tipo: o + : Mm×n (K) × Mm×n (K) (A, B)para la que se cumple: • A + B = B + A ∀ A, B ∈ Mm×n (K) • (A + B) + C = A + (B + C) ∀ A, B, C ∈ Mm×n (K) • ∃ O ∈ Mm×n (K) / A + O = A = O + A ∀ A ∈ Mn×n (K) • ∀ A ∈ Mm×n (K) ∃ − A ∈ Mn×n (K) / A + (−A) = O = (−A) + A El producto de un escalar por una matriz es una matriz del mismo tama˜o, es decir, constituye n una aplicaci´n del tipo: o · : K × Mm×n (K) (α, A) para la que se cumple: • a(A + B) =aA + aB • (a + b)A = aA + bA ∀ A, B ∈ Mm×n (K) y ∀ a ∈ K ∀ A ∈ Mm×n (K) y ∀ a, b ∈ K / Mm×n (K) / αA / Mm×n (K) / A+B

• (ab)A = a(bA) ∀ A ∈ Mm×n (K) y ∀ a, b ∈ K • 1A = A ∀ A ∈ Mm×n (K)
64

Espacios vectoriales Nuestro prop´sito ahora, es extender la estructura que tiene el conjunto Mm×n (K) con las dos o operaciones antes indicadas, a un contexto m´s general del que ´ste pasar´ a ser unejemplo. a e a Definici´n 1.1. Un espacio vectorial sobre el cuerpo K, tambi´n denominado K-espacio vectorial, o e es un conjunto no vac´ V , junto con dos operaciones del tipo siguiente: ıo +: V × V (u, v) / V / u+v ·: K × V (α, u) / V / αu

para las que se verifican las siguientes condiciones:   EV1 : u + v = v + u ∀ u, v ∈ V       EV2 : (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ V Para + : EV3 : ∃ 0 ∈ V / u + 0 = u = 0 + u ∀ u ∈ V       EV4 : ∀ u ∈ V ∃ − u ∈ V / u + (−u) = 0 = (−u) + u   EV5 : α(u + v) = αu + αv ∀ u, v ∈ V y ∀ α ∈ K       EV6 : (α + β)u = αu + βu ∀ u ∈ V y ∀ α, β ∈ K Para · :  EV7 : (αβ)u = α(βu) ∀ u ∈ V y ∀ α, β ∈ K       EV8 : 1u = u ∀ u ∈ V A los elementos de V los denominaremos vectores, y a las dos operaciones anteriores las denominaremos,respectivamente, suma de vectores y producto de un escalar por un vector. Por otro lado, debido a la igualdad que nos garantiza EV2, cualquiera de los dos miembros de esta igualdad se representar´ por u + v + w. Asimismo, en EV7, cualquiera de los dos miembros de la igualdad se a representar´ por αβu. a Consecuencias 1.2. Si V es un K-espacio vectorial, entonces: 1) El elemento 0 ∈ V , cuyaexistencia nos garantiza la condici´n EV3, es unico y lo denominao ´ remos vector cero. 2) Si u ∈ V , el elemento −u ∈ V , cuya existencia nos garantiza la condici´n EV4, es unico y lo o ´ denominaremos opuesto de u.

´ Demostracion. 1) Supongamos que los elementos e1 y e2 de V , verifican la condici´n EV3, entonces: o   e1 e1 + e2 =  e haciendo uso de la condici´n EV3 para e2 o haciendo uso de lacondici´n EV3 para e1 o 65

2

Espacios vectoriales 2) Supongamos que u ∈ V y que u1 y u2 de V , verifican la condici´n EV4, entonces, haciendo o uso en primer lugar de la condici´n EV2, se tiene: o   (u1 + u) + u2 = 0 + u2 = u2 haciendo uso de que u1 cumple la condici´n EV4 o       y de la condici´n EV3 o u1 + u + u2 =  (u + (u + u ) = u + 0 = u haciendo uso de que u cumple lacondici´n EV4  1 o 2 1 1 2      y de la condici´n EV3 o

Consecuencias 1.3. En un K-espacio vectorial V , se verifica: 1) α0 = 0 2) 0v = 0 ∀α∈K ∀v∈V

3) αv = 0 =⇒ α = 0 o v = 0 4) (−α)v = −(αv) = α(−v) ´ Demostracion. 1) Si consideramos el elemento de V , α(0 + 0), se tiene:   α0 + α0 haciendo uso de la condici´n EV5 o α(0 + 0) =  α0 ya que 0 + 0 = 0 por la condici´n EV3 o en consecuencia...